Question

已知函数f(x)=log。x(a>0,且a不等于1)在1,8上的最大值为3

Answer 1

问：已知函数f(x)=log。x(a>0,且a不等于1)在1,8上的最大值为3

问：第二小问就可以

问：我需要解题过程

答：好的，（1）（2）都给你

答：(1) 要求函数f(x)在[1, 8]上的最大值为3，即f(x) ≤ 3，对任意x ∈ [1, 8] 成立。 根据函数f(x) = logₐx 的性质，f(x) 表示以 a 为底 x 的对数。因为 f(x) ≤ 3 对任意 x ∈ [1, 8] 成立，我们可以将 a 的取值范围进行讨论。 考虑 x = 1，此时 f(x) = logₐ1 = 0。由 f(x) ≤ 3，可得 0 ≤ 3，满足条件。 考虑 x = 8，此时 f(x) = logₐ8 = 3。由 f(x) ≤ 3，可得 3 ≤ 3，满足条件。 因此，在[1, 8] 上，f(x) = logₐx 的最大值为 3，可以得出结论：a 的值可以是任意正数且不等于 1。

答：(2) 根据题意，对于 $x \in [1, 8]$，满足不等式 $2 - f(x) + t \geq 0$。 将 $f(x) = \log_{a}x$ 代入不等式中，得到 $2 - \log_{a}x + t \geq 0$。 我们需要求解实数 $t$ 的取值范围，使得对于任意 $x \in [1, 8]$，不等式都成立。 对不等式进行变形，得到 $\log_{a}x \leq 2 + t$。 根据对数函数的性质，$\log_{a}x \leq c$ 等价于 $x \leq a^{c}$，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$，$c$ 为任意实数。 因此，对于不等式 $\log_{a}x \leq 2 + t$，我们可以得到 $x \leq a^{2+t}$。

答：在 [1, 8] 上成立，即 1 ≤ x ≤ 8，我们可以得到以下条件： 1. 1 ≤ x ≤ 8 ≤ a^(2+t)。 解释条件得到以下两个不等式： 1. 1 ≤ a^(2+t) 2. a^(2+t) ≤ 8 A、 解不等式 1 ≤ a^(2+t)： 对两边同时取以 a 为底的对数，得到 logₐ1 ≤ 2 + t。 因为 logₐ1 = 0，所以 0 ≤ 2 + t， 解不等式得到 t ≥ -2。 B、解不等式 a^(2+t) ≤ 8： 对两边同时取以 a 为底的对数，得到 logₐ(a^(2+t)) ≤ logₐ8。 根据对数的性质，logₐ(a^(2+t)) = 2 + t。 所以 2 + t ≤ logₐ8， 解不等式得到 t ≤ logₐ8 - 2。 综上所述，实数 t 的取值范围为 t ∈ [-2, logₐ8 - 2]。