Question

22+10.计算:2/(1*2)+2/(2*3)+2/(3*4)++2/(98*99)+2/(99*100) 98 9999 100

Answer 1

问：22+10.计算:2/(1*2)+2/(2*3)+2/(3*4)++2/(98*99)+2/(99*100) 98 9999 100

答：首先，可以发现每一项的分母都是相邻两个正整数的乘积，所以我们可以把每一项写成类似于下面的形式：$$\frac{2}{n(n+1)}$$其中 $n$ 为正整数，$n$ 的取值范围是 $1\leqslant n\leqslant 99$。于是原式可以写成：$$\begin{aligned} &\quad\ 2\left(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{98\cdot 99}+\frac{1}{99\cdot 100}\right)\\ &=2\sum_{n=1}^{99}\frac{1}{n(n+1)} \end{aligned}$$接下来，我们需要把 $\dfrac{1}{n(n+1)}$ 拆成两个分数的和。观察 $\dfrac{1}{n(n+1)}$ 的形式，我们发现可以这样做：$$\dfrac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$这个式子是正确的，可以尝试化简一下验证。于是原式变为：$$\begin{aligned} &\quad\ 2\sum_{n=1}^{99}\frac{1}{n(n+1)}\\ &=2\sum_{n=1}^{99}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\ &=2\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)\\ &=\frac{199}{50}\\ &=3.98 \end{aligned}$$所以原式的值为 $3.98$。