Question

设三阶方阵A的特征值为1,2,3,则a的平方加a➕e的行列式的值

Answer 1

问：设三阶方阵A的特征值为1,2,3,则a的平方加a➕e的行列式的值

答：由矩阵特征值的性质可知： 矩阵A相似于对角阵D，其对角元素为A的特征值。 即A = PDP^(-1)，其中P是可逆矩阵，D是对角阵，其对角线上的元素分别是矩阵A的特征值。 因此，A^2 + A + E = A(A + E) + E = AP^(-1)PD(P^(-1)P + P^(-1)) + E = PDP^(-1)P(D + E)P^(-1) + E = PD(D + E)P^(-1) + E 由于D是对角阵，D + E是以A的特征值加1作为对角线元素的对角阵，因此有D(D + E) = （1 0 0）（2 1 0）（0 0 3）= （2 0 0）（0 2 0）（0 0 4） 于是，A^2 + A + E = PD(D + E)P^(-1) + E = P（（2 0 0）（0 2 0）（0 0 4））P^(-1) + E = （2 0 0）（0 2 0）（0 0 4） + E = 17E 因此，A^2 + A + E的行列式为17的三次方，即4913。

答：A的三个特征向量互不相同，所以A可对角化，存在可逆矩阵P使得A=P*diag{1,2,3}*P^(-1)。所以A+E=P*diag{1,2,3}*P^(-1)+P*P^(-1)=P*(diag{1,2,3}+E)*P^(-1)=P*diag{2,3,4}*P^(-1)，行列式=2*3*4=24