判别级数收敛性并求出收敛级数和 ∑（√n+1-√n）
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亲，以下是步骤及最后的和：
要判断级数的收敛性，我们可以考虑用比较判别法，即将该级数与一个已知收敛或发散的级数比较。
首先我们注意到 √n+1-√n 可以化简为：√n+1-√n = (√n+1-√n) × (√n+1+√n) / (√n+1+√n) = (n+1-n) / (√n+1+√n)
因此，原级数 ∑（√n+1-√n）可以写成：∑（√n+1-√n） = ∑ [ (n+1-n) / (√n+1+√n) ]
再根据比较判别法，将上式的分母与分子分别与一个已知收敛的级数比较：(n+1-n) / (√n+1+√n) < (n+1-n) / (√n)
因为当 n 趋向无穷大时，分母 √n+1+√n 一定小于 √n，于是我们有：∑ [ (n+1-n) / (√n+1+√n) ] < ∑ [ (n+1-n) / (√n) ]
右边的级数可以用积分法证明是收敛的，具体可以参见教材或其他资料。
咨询记录 · 回答于2024-01-16
∑（√n+1-√n）
要判断级数的收敛性，我们可以考虑用比较判别法，即将该级数与一个已知收敛或发散的级数比较。
首先我们注意到 √n+1-√n 可以化简为：√n+1-√n = (√n+1-√n) × (√n+1+√n) / (√n+1+√n) = (n+1-n) / (√n+1+√n)
因此，原级数 ∑（√n+1-√n）可以写成：∑（√n+1-√n） = ∑ [ (n+1-n) / (√n+1+√n) ]
再根据比较判别法，将上式的分母与分子分别与一个已知收敛的级数比较：(n+1-n) / (√n+1+√n) < (n+1-n) / (√n)
因为当 n 趋向无穷大时，分母 √n+1+√n 一定小于 √n，于是我们有：∑ [ (n+1-n) / (√n+1+√n) ] < ∑ [ (n+1-n) / (√n) ]
右边的级数可以用积分法证明是收敛的，具体可以参见教材或其他资料。【摘要】
判别级数收敛性并求出收敛级数和
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∑（√n+1-√n）
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