Question

4.设aAx=b的解,β是Ax=0的解,则 2β-α 是（）的解

Answer 1

问：4.设aAx=b的解,β是Ax=0的解,则 2β-α 是（）的解

答：你好，2β-α是aAx=b的解。因为有aAx=b的解，所以有：aα = baβ = 0那么：a(2β-α) = 2aβ - aα = 0又因为：b = aα = a(2β-α)所以2β-α是aAx=b的解。

答：这个问题其实是在考查线性代数中的“线性组合”概念。对于一个线性方程组，其解集是一个向量空间，其中任意两个解向量之间的线性组合也是该方程组的解向量。因此，对于这个问题中的两个解向量α和β，它们的线性组合2β-α也是该方程组的解向量。同时，可以发现这个问题中的线性方程组是齐次的，即Ax=0，因此它的解向量构成了一个子空间，称为齐次方程组的解空间。在这个子空间中，任意两个解向量之间的线性组合仍然在该子空间内，因此2β-α也是该子空间的解向量。

问：说错问题了，是4.设α是Ax=b的解,β是Ax=0的解,则 2β-α 是（）的解

答：你好，2β-α是Ax=b-2(Ax=0)的解，即Ax=b-2Ax=0，化简得Ax=b。因为α是Ax=b的解，β是Ax=0的解，所以2β-α也是Ax=b的解。

答：在矩阵方程Ax=b中，如果有两个解α和β，则它们的线性组合cα+dβ也是Ax=b的解，其中c和d是任意常数。这个结论可以通过代数运算证明：对于Ax=b，有A(cα+dβ)=cAα+dAβ=c(b+0)=b，所以cα+dβ是Ax=b的解。这个结论在矩阵理论和线性代数的应用中经常被使用。