Question

已知三角形ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3a加2b等于3ccosB,求cosC

Answer 1

问：已知三角形ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3a加2b等于3ccosB,求cosC

答：根据余弦定理，我们可以得到以下公式： * cos A = (b^2+c^2-a^2)/(2bc) * cos B = (a^2+c^2-b^2)/(2ac) 接下来，我们将3a+2b=3ccosB代入cosB的式子中，进行化简： 3a + 2b = 3c(a^2+c^2-b^2)/(2ac) => 6ac + 4bc = 9c^2 - 3cb^2 => 3cb^2 + 4bc - 6ac = 0 现在，我们用另一种方式来表示cos C： cos C = (a^2+b^2-c^2)/(2ab) = (a^2+b^2-(a^2+c^2-b^2))/(2ab) = (b^2-c^2+2ab)/(2ab) = (2bc-3a)/(2b) 然后，我们将之前得到的3cb^2 + 4bc - 6ac = 0代入上面的式子，进一步化简： cos C = (2bc - 3a)/(2b) = (3cb^2 + 4bc)/(6b^2) = (3c cosB + 4c)/(6b) = (1/2)cosB + (2/3) 请注意，这里的解法假设了给定的三角形是非退化的（即三条边能构成一个三角形），以及cosB不等于0。如果cosB为0，则无解。

问：甲乙两人进行一次羽毛球比赛，约定先胜三局者获胜。 假设在一局比赛中，甲先发球这局甲获胜的概率是三分之二，若乙先发球，获胜的概率是二分之一。 已知第一局比赛甲先发球，以后每局比赛由前一局获胜的先发球，且各局比赛结果相互独立，每局都分胜负。 我们要计算的是比赛只进行三局就结束的概率，记比赛结束后，甲获胜的局数为X。 我们还需要求出X的分布列及期望。 甲乙两人进行羽毛球比赛，规则如下： * 约定先胜三局者获胜。 * 假设在一局比赛中，甲先发球这局甲获胜的概率是三分之二，若乙先发球，获胜的概率是二分之一。 * 已知第一局比赛甲先发球，以后每局比赛由前一局获胜的先发球。 * 各局比赛结果相互独立，每局都分胜负。 我们的目标是： 1. 计算比赛只进行三局就结束的概率。 2. 记比赛结束后，甲获胜的局数为X，求X的分布列及期望。 首先，我们考虑比赛只进行三局就结束的情况： * 第一种情况：甲连赢三局。 + 概率为：(2/3) × (2/3) × (2/3) = 8/27 * 第二种情况：乙连赢三局。 + 但由于是三局两胜制，这种情况不可能发生。 因此，比赛只进行三局就结束的概率为：8/27。 接下来，我们考虑甲获胜的局数X的分布列及期望： * X的可能取值为：0, 1, 2, 3。 * P(X=0) = P(乙胜) = 1/3 × 1/3 × 1/3 = 1/27 * P(X=1) = P(第一局甲胜，其余乙胜) + P(第一局乙胜，其余甲胜) = (2/3 × 1/3 × 1/3) + (1/3 × 2/3 × 1/3) + (1/3 × 1/3 × 2/3) = 8/27 * P(X=2) = P(前两局甲胜，第三局乙胜) + P(前两局乙胜，第三局甲胜) = (2/3 × 2/3 × 1/3) + (1/3 × 1/3 × 2/3) = 4/9 * P(X=3) = P(甲胜) = 2/3 最后，我们计算X的期望： E(X) = 0 × (1/27) + 1 × (8/27) + 2 × (4/9) + 3 × (8/27) = 56/27

答：我们可以列出比赛只进行三局就结束的所有可能情况，共有以下4种情况： 1. 甲先发球获胜，乙后发球获胜，甲后发球获胜。 2. 乙先发球获胜，甲后发球获胜，乙后发球获胜。 3. 甲先发球获胜，乙后发球获胜，乙后发球获胜。 4. 乙先发球获胜，甲后发球获胜，甲后发球获胜。 对于第1种情况，甲获胜的局数为2，对于第2种情况，甲获胜的局数也为2，对于第3种情况，甲获胜的局数为1，对于第4种情况，甲获胜的局数也为1。 因此，比赛只进行三局就结束的概率为： P(X=1)=1/2×1/2×2/3+1/2×1/2×1/3=1/6 P(X=2)=1/2×1/2×1/3+1/2×1/2×2/3=1/3 期望为：E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)=5/6 因此，甲获胜的局数区的分布列为： X 1 2 P(X) 1/6 1/3