Question

f(m(sinθ+cosθ))≥f1sinθcosθ) 对∀θ∈[0,1/2兀]恒成立求m的取值范围

Answer 1

问：f(m(sinθ+cosθ))≥f1sinθcosθ) 对∀θ∈[0,1/2兀]恒成立求m的取值范围

答：亲亲，您好，解答如下对于给定的不等式 f(m(sinθ + cosθ)) ≥ f1sinθcosθ，我们需要求解 m 的取值范围。首先，我们可以将不等式中的 sinθ 和 cosθ 利用三角恒等式转化为一个三角函数。根据两角和公式，我们有：sinθ + cosθ = √2 * sin(θ + π/4)因此，原始不等式可以改写为：f(m√2sin(θ + π/4)) ≥ f1sinθcosθ现在，我们可以设 x = θ + π/4，并将不等式表示为 x ∈ [π/4, 3π/4] 时的形式：f(m√2sinx) ≥ f1sin(x - π/4)cos(x - π/4)接下来，我们要考虑函数 f(x) 的性质以及给定不等式的要求。由于不等式对所有的 θ ∈ [0, 1/2π] 都成立，我们可以将 x ∈ [π/4, 3π/4] 视为一个特殊情况，其中 x 的区间范围与 θ 的区间范围相对应。根据不等式 f(m√2sinx) ≥ f1sin(x - π/4)cos(x - π/4)，我们可以观察到以下关系：1. 当 sin(x - π/4) > 0 且 cos(x - π/4) > 0 时，不等式恒成立。2. 当 sin(x - π/4) < 0 且 cos(x - π/4) 0 时，不等式恒成立。根据三角函数的性质，我们可以知道 sin(x - π/4) 和 cos(x - π/4) 在 x ∈ [π/4, 3π/4] 范围内的取值情况。对于 sin(x - π/4) > 0 且 cos(x - π/4) > 0 的情况，根据 sinx 和 cosx 在第一象限的正值性质可知：π/4 < x < π/2对于 sin(x - π/4) < 0 且 cos(x - π/4) < 0 的情况，根据 sinx 和 cosx 在第三象限的负值性质可知：π/2 < x < 3π/4综上所述，m 的取值范围应满足：π/4 < θ < π/2 或 π/2 < θ < 3π/4即：0 < m √2 或 m > -√2请注意，对于其他的 θ 值，不等式可能会有其他的要求，但在给定的条件下，m 的取值范围应满足上述条件。