设x1=根号6.xn=根号(6+xn-1).证明lim xn存在，并求其值
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先证有界性
设 xn<=3
xn+1=√(6+Xn)<=√(6+3)=3
即
xn+1-xn=√(6+Xn)-√(6+Xn-1)
=(xn-xn-1)/[√(6+Xn)+√(6+Xn-1)]
所以
xn+1-xn和xn-xn-1 符号相同
而x2=√(6+X1)=4
x2-x1<0
所以
xn+1-xn<0
xn+1
即{xn}是减函数，
所以单调有界数列必有极限；
设极限=a
则limXn+1=lim√(6+Xn)
a=√(6+a)
a²=6+a
a²-a-6=0
(a+2)(a-3)=0
a=3
即极限=3
咨询记录 · 回答于2021-11-24
设x1=根号6.xn=根号(6+xn-1).证明lim xn存在，并求其值
好的，请你等一下我正在计算
先证有界性设 xn<=3xn+1=√(6+Xn)<=√(6+3)=3即xn+1-xn=√(6+Xn)-√(6+Xn-1)=(xn-xn-1)/[√(6+Xn)+√(6+Xn-1)]所以xn+1-xn和xn-xn-1 符号相同而x2=√(6+X1)=4x2-x1<0所以xn+1-xn<0xn+1
先证有界性设 xn<=3xn+1=√(6+Xn)<=√(6+3)=3即xn+1-xn=√(6+Xn)-√(6+Xn-1)=(xn-xn-1)/[√(6+Xn)+√(6+Xn-1)]所以xn+1-xn和xn-xn-1 符号相同而x2=√(6+X1)=4x2-x1<0所以xn+1-xn<0xn+1
此题也可以用数学归纳法来证明，希望能帮助到你！
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