Question

为什么n+1的阶乘比x的n次方大

Answer 1

问：为什么n+1的阶乘比x的n次方大

答：n趋向于无穷大时n+1的阶乘增速快。原式=lim1/[√(2nπ)]*(1/e)^n，分子是√n分母是e^n，所以显然极限为0。

答：比如说3³和3！，一个是3*3*3，一个是3*2*1，明显3³更大，类比到n也是同样的

答：比如说当x=n时：n的n次方跟n的阶乘，n的阶乘更大。证明：当n=1时：2^1=2，1！=1。∴2^n＞n！。当n≥2时：n！/2^n=（2/2）x（3/2）x（4/2）x（5/2）x（n/2）。∵（2/2）＝1，（3/2）＞1，（4/2）＞1（n/2）＞1。∴（2/2）x（3/2）x（4/2）x（5/2）x……（n/2）＞1。∴n！＞2^n。当n=1时，n！＜2^n；当n≥2时，n！＞2^n。

问：那当x很大的时候能成立吗？

问：还在吗？

问：比如x为10000呢？

答：成立，当n足够大时(从 n大于x开始), x的n次方是每次乘以x 而n的阶乘每次乘以n ,n的阶乘更快趋于正无穷

答：ln(n+1!/x^n)=ln(1/x)+ln(2/x)+...+ln(n+1/x)=ln(1/x)+ln(2/x)+..+ln([x]/x)+ln(([x]+1)/x)+...+ln(n+1/x)=s0+ln(([x]+1)/x)+..+ln(n+1/x)=s0+s(x)上式中[x]表示x的整数部分,s0=ln(1/x)+ln(2/x)+..+ln([x]/x),实际上就是所有的负数项的和,从ln(([x]+1)/x)开始就都是正数了,当n->∞时,s(n)->∞,因为仅其中一项ln(n+1/x)就趋向无穷大.而s0只是一个有限的负数,因此s0+s(n)->∞从而ln(n+1!/x^n)>0,即n+1!>x^n

问：为什么要取【x】的整数部分

答：x可能为任意一个整数或者带小数点的数

问：好的明白了