Question

∫√2-x^2dx

Answer 1

问：∫√2-x^2dx

答：∫√（2x－x^2）dx＝∫√［1－（1－2x＋x^2）］dx＝∫√［1－（1－x）^2］dx＝－∫√［1－（1－x）^2］d（1－x）.令1－x＝sinu,则：u＝arcsin（1－x）、cosu＝√（2x－x^2）、d（1－x）＝cosudu.∴∫√（2x－x^2）dx＝－∫√［1－（sinu）^2］cosudu＝－∫（cosu）^2du＝－（1/2）∫（1＋cos2u）du＝－（1/2）∫du－（1/4）∫cos2ud（2u）＝－（1/2）u－（1/4）sin2u＋C＝－（1/2）arcsin（1－x）－（1/2）sinucosu＋C＝－（1/2）arcsin（1－x）－（1/2）（1－x）√（2x－x^2）＋C