Question

设X1，X2是来自总体X~N（0，1）的简单随机样本，则Y=X21+X22服从

Answer 1

问：设X1，X2是来自总体X~N（0，1）的简单随机样本，则Y=X21+X22服从

答：如果Y=X1^2+X2^2服从某个分布， 那么这个分布就是所谓的卡方分布。 卡方分布是一种常见的概率分布， 它用于描述多个随机变量的平方和。 在统计学中，卡方分布常用于检验假设， 例如检验样本数据是否与某个理论分布匹配。 在数学表达式上，卡方分布的概率密度函数为： f(x) = k * x^(k-1) * e^(-x/2) / (2^(k/2) * Γ(k/2)) 其中k是自由度（degrees of freedom）， Γ(k/2)表示伽马函数，x≥0。 例如，如果Y服从卡方分布，则自由度为2，概率密度函数为： f(x) = x * e^(-x/2) / 2

答：对于设 $X_1, X_2$ 是来自总体 $X \sim N(0, 1)$ 的简单随机样本，则 $Y = X_1^2 + X_2^2$ 的问题，可以使用独立性来推出 $Y$ 的分布。 由于 $X_1$ 和 $X_2$ 是独立的，所以 $Y = X_1^2 + X_2^2$ 是独立的。因此，$Y$ 服从双峰正态分布。 具体来说，设 $X_1$ 和 $X_2$ 的均值分别为 $\mu_1$ 和 $\mu_2$，方差分别为 $\sigma_1^2$ 和 $\sigma_2^2$。则 $Y$ 的均值为 $\mu_1^2 + \mu_2^2$，方差为 $\sigma_1^4 + \sigma_2^4$。 例如，如果 $X_1 \sim N(0, 1)$，$X_2 \sim N(1, 1)$，则 $Y$ 服从双峰正态分布，均值为 $1$，方差为 $2$。

问：已知P（A）=0.8，P（C）=0.4，C⊂B，AC相互独立，求P[（A-C）|（A-BC）]

问：设X，Y的联合分布律为X，Y -1 0 11 0.5 0.1 0.152 0.05 0.15 0.05求X的边缘分布律及E（X）

答：如果A与C相互独立，那么可以得到P(A∩C)=P(A)×P(C)。根据乘法原理，可以得到P(A∪C)=P(A)+P(C)-P(A∩C)，所以P(A∪C)=0.8+0.4-0.8×0.4=0.88。而P(A∩B∩C)=P(A∩B)×P(A∩C)=P(A)×P(B|A)×P(C)=0.8×P(B|A)×0.4。所以P((A∩B)∪(A∩C))=0.8×P(B|A)+0.8×P(C)=0.8×(P(B|A)+P(C))。根据条件概率的定义，可以得到P(A|(B∪C))=P((A∩B)∪(A∩C))/P(B∪C)=0.8×(P(B|A)+P(C))/0.88。由于A∩C=∅，所以P(A|(B∪C))=0.8×P(B|A)/0.88。此时，P(A|(B∪C))即为所求的P[（A-C）|（A-BC）]的值。