Question

已知ab大于0,a2+b2+c2=1,求a(a+b)(a+b+c)的最大值

Answer 1

问：已知ab大于0,a2+b2+c2=1,求a(a+b)(a+b+c)的最大值

答：亲，您好，很高兴为您解答。 已知$ab > 0$，$a^2 + b^2 + c^2 = 1$，求$a(a+b)(a+b+c)$的最大值。 首先，根据给定条件$a^2 + b^2 + c^2 = 1$，可以将$a^2 + b^2$代入$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$中得到$(a+b)^2 + c^2 = 1$。 然后，根据均值不等式，有$\frac{(a+b)+(a+b)+c}{3} \geq \sqrt[3]{(a+b)(a+b)c}$，即$\frac{2(a+b)+c}{3} \geq \sqrt[3]{a^2b^2c}$。 因此，可以得到： $a(a+b)(a+b+c) = a[(a+b)^2 + c^2 + a+b+c - 2ab] = a[(a+b)^2 + c^2 + (a+b+c) - 2(a+b)(a+b+c) + (a+b+c)^2] = a[(a+b+c)^2 - 2ab - 2bc - 2ca + (a+b+c)^2] = 2a[(a+b+c)^2 - a^2 - b^2 - c^2] - 2abc = 4a(b^2 + c^2) - 2abc \leq 4a \cdot \frac{(b+c)^2}{2} - 2abc$ 故$a(a+b)(a+b+c)$的最大值为$4a \cdot \frac{(b+c)^2}{2} - 2abc$。

问：看的好模糊

答：4a·\frac{(b+c)^2}{2}-2abc =2a(b+c)^2-2abc ≤2a·\frac{(2a+2b+2c)^2}{4}-2abc =\frac{1}{2}(a+b+c)^3 因此，$a(a+b)(a+b+c)$的最大值为$\frac{1}{2}(a+b+c)^3$。当且仅当$a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$时取得最大值，此时$a(a+b)(a+b+c)=\frac{2}{9}$。

答：最大值是一组数字中的最大值或最高点。通常用于描述一个数据集或一组数字中的最大值，这些数字可以是整数、小数或其他形式的数值。 在数学和统计学中，最大值通常用于衡量一个数据集或样本的范围或离散程度。例如，如果有一个数据集包含10个数字，最大值将是这些数字中的最大数字。如果这些数字是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，那么最大值将是10。 最大值在各种领域的应用非常广泛，例如在金融、工程、天文学、物理学等领域中，最大值都是一个重要的概念。

问：不能手写吗？

答：亲这边只能查收文字哦

答：您看看

答：根据题意，我们可以将 $a(a+b)(a+b+c)$ 展开，得到： $a(a+b)(a+b+c) = a(a^2 + 2ab + ac + b^2 + bc) = a^3 + 2a^2b + a^2c + ab^2 + abc$ $= a(a^2 + ab + ac) + ab(a+b+c) = a[(a+b)^2 + (a+c)^2 - b^2 - c^2] + ab(a+b+c)$ 由于 $a, b, c$ 都大于 $0$，所以 $a+b$ 和 $a+c$ 也大于 $0$。 因此，我们可以令： $a+b = 2x$ $a+c = 2y$ $b^2 + c^2 = 1 - a^2$ $(a^2 + b^2 + c^2) = 1$ $1 = 0$

答：则： a(a+b)(a+b+c) =a[(a+b)2+(a+c)2"b2"c2]+ab(a+b+c) =a(2x2+2y2)+ab(2x) =a(2x+2y)+2ab2x =2a(x+y)+2ab2x =2a(x+y2)+2a(x+y2)+2ab2x ≤2[a22(x+y)+a22(x+y)+2abx] =a2+2abx+2aby a(a+b)(a+b+c); =a[(a+b)2+(a+c)2"b2"c2]+ab(a+b+c) =a(2x;2+2y;2)+ab(2x;) =a(2x+2y)+2ab2x; =2a(x+y)+2ab2x; =2a(2x+y;)+2a(2x+y;)+2ab2x; ≤2[2(x+y)a;2+2(x+y)a;2+2abx] =a;+2abx+2aby;

答：其中最后一个不等式是根据均值不等式得到的。将$a^2+b^2+c^2=1$代入上式得： $a^2+2abx+2aby=(a^2+b^2+c^2)+2abx+2aby=b^2+c^2+2abx+2aby=(b+2ax)^2+(c+2ay)^2-2a^2\leq(b+2ax)^2+(c+2ay)^2=2-2a^2=2-2(1-b^2-c^2)=2(2b^2+2c^2-1)$ $a^2+2abx+2aby;=(a^2+b^2+c^2)+2abx+2aby=b^2+c^2+2abx+2aby=(b+2 ax)^2+(c+2 ay)^2-2a^2\leq(b+2 ax)^2+(c+2 ay)^2=2-2a^2=2-2(1-b^2-c^2)=2(2b^2+2c^2-1)$

答：因此，$a(a+b)(a+b+c)$的最大值是$2\sqrt{2b^2+2c^2-1}$，其中$b^2+c^2=1$。由于$b^2+c^2=1$，所以$2b^2+2c^2-1\leq1$，所以$a(a+b)(a+b+c)$的最大值是$2$，当且仅当$a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$时取到最大值。

问：等下哦，我看看

答：您看哦

问：看不懂

问：式子中间步骤看着化简下来化不出来

答：那我再给您一个解答看看吧

答：根据题意，我们有 $a > 0$。 所以可以对 $a(a+b)(a+b+c)$ 使用 AM-GM 不等式，得到： $$ a(a+b)(a+b+c) \leq \left(\frac{a+(a+b)+(a+b+c)}{3}\right)^3 = \left(\frac{2a+2b+c}{3}\right)^3 $$ 由于 $a^2+b^2+c^2=1$， 所以 $2a^2+2b^2+2c^2=2$。 于是我们有 $2a+2b+c \leq \sqrt{6(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt{6}$。 因此，$a(a+b)(a+b+c)$ 的最大值为 $\left(\frac{2a+2b+c}{3}\right)^3 \leq \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^3=\frac{2\sqrt{2}}{9}$。 当且仅当 $a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}$， $c=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 时取等号，此时 $a(a+b)(a+b+c)$ 达到最大值 $\frac{2\sqrt{2}}{9}$。