Question

解答高中数学难题

Answer 1

问：解答高中数学难题

问：第一问

答：您好，很高兴为您解答。首先，要判断f(x)是否具有周期性。我们知道，sin(x)是以2π为周期的函数，因此，sin²(x)也具有以2π为周期的性质。而根号3sinx*cosx可以表示为sin2x的形式，又因为sin2x也是以π为周期的函数，所以，根号3sinx*cosx也具有以π为周期的性质。因此，f(x)的周期应该是2π和π的公倍数，即2π、π、2π/3、π/3等。接下来，我们可以分别计算f(x)在这些周期上的取值，看看是否相等。这里，我们以2π为例：f(2π) = sin²(2π) + 根号3sin(2π)cos(2π) - 3/2 = 0 + 0 - 3/2 = -3/2f(0) = sin²(0) + 根号3sin(0)cos(0) - 3/2 = 0 + 0 - 3/2 = -3/2由此可见，f(x)在2π处的取值和在0处的取值相等，因此，f(x)的最小正周期为2π。而对称中心可以通过解方程f(x) = f(-x)来求得，即：sin²x + 根号3sinxcosx - 3/2 = sin²(-x) + 根号3sin(-x)cos(-x) - 3/2sin²x - sin²(-x) + 根号3sinx*cosx + 根号3sin(-x)cos(-x) = 0sin(2x) + 根号3sin(2x) = 0sin(2x)(1 + 根号3) = 0因此，对称中心为x = kπ/2，其中k为整数。