Question

计算幂级数 y/(m-xn+2)^n 的收敛域

Answer 1

问：计算幂级数 y/(m-xn+2)^n 的收敛域

答：亲亲，非常荣幸为您解答计算幂级数 y/(m-xn+2)^n 的收敛域\begin{aligned}\frac{a_{n+1}}{a_n} &= \frac{y}{(m - (n+1)x + 2)^n} \cdot \frac{(m - nx + 2)^n}{y}\\&= \frac{(m - nx + 2)^n}{(m - (n+1)x + 2)^n}\\&= \left(\frac{m - nx + 2}{m - (n+1)x + 2}\right)^n\\&= \left(\frac{m - nx + 2}{m - nx - x + 2}\right)^n\end{aligned}现在，我们需要找到这个幂级数的收敛域。当幂级数收敛时，比值 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ 的绝对值应该小于 1。即，\begin{aligned}\left|\frac{m - nx + 2}{m - nx - x + 2}\right|^n &< 1\\\left|\frac{m - nx + 2}{m - nx - x + 2}\right| &< 1^{\frac{1

答：注意，我们将两侧都取了绝对值，所以不需要考虑 $n$ 的奇偶性。现在，我们可以将不等式分类讨论。当 $m - nx - x + 2 > 0$ 时，我们可以直接解不等式：\begin{aligned}\frac{m - nx + 2}{m - nx - x + 2} &< 1\\m - nx + 2 &< m - nx - x + 2\\-x & 0\\x &> 0\end{aligned}所以，当 $x > 0$ 时，幂级数收敛。当 $m - nx - x + 2 0$ 时，我们需要进一步分类讨论。如果 $x > 0$，则：\begin{aligned}\frac{m - nx + 2}{m - nx - x + 2} &> -1\\(m - nx + 2) + (m - nx - x + 2) &> 0\\2m - 2nx + 4 &> 0\\x &< \frac{m+2}{n}\end{aligned}否则，当 $x < 0$ 时：\begin{aligned}\frac{m - nx + 2}{m - nx - x + 2} &< -1\

答：(m - nx + 2) + (m - nx - x + 2) &< 0\\2m - 2nx + 4 & 0\\x &> \frac{m+2}{n}\end{aligned}因此，当 $x \in \left(0, \frac{m+2}{n}\right)$ 或者 $x \in \left(\frac{m+2}{n}, +\infty\right)$ 时，幂级数收敛。综上，幂级数的收敛域为 $x \in (0, +\infty)$，除了 $\frac{m+2}{n}$ 这个点处可能发生收敛所需的特殊处理。

答：幂级数函数项级数的概念 定义1 函数列，则称为函数项级数。定义2取，则成为常数项级数，若收敛，则称为的收敛点；若发散，则称为的发散点。定义3 函数项级数的收敛点的集合称为其收敛域，记为D。定义4 对于任意一点，有收敛，因而有一个确定的和，该和是关于 的函数，称为 和函数，记为S（x）。定义5 若用 表示 的前n项的和，则在收敛域上有记称为的余项，且在收敛域上有。则在收敛域上有记称为的余项，且在收敛域上有。

问：你这写的我也看不懂啊