Question

5.设f(x)在x处连续,在x的某去心邻域内大x, (x-x_0)f'(x)>0 ,则f(x)

Answer 1

问：5.设f(x)在x处连续,在x的某去心邻域内大x, (x-x_0)f'(x)>0 ,则f(x)

答：# 根据题意，我们可以得出f(x)在x=x0处可导。 因为在x的某去心邻域内大x，(x-x0)f'(x)>0，所以f'(x)在x0的某个邻域内必定大于0或小于0。 若f'(x)在x0的某个邻域内大于0，则f(x)在x0的左侧单调递减，在x0的右侧单调递增，因此x0是f(x)的一个极小值点。 同理，若f'(x)在x0的某个邻域内小于0，则x0是f(x)的一个极大值点。 由于f(x)在x0处连续，因此x0是f(x)的一个极值点。 综上所述，f(x)在x0处必定存在极值点。

问：为什么答案是极小值呢

问：答案显示fx为极小值

答：根据题目给出的条件，我们知道： 在x的某去心邻域内，f(x)的导数f'(x)大于0，也就是说f(x)在这个邻域内是单调递增的。 同时，由于f(x)在x处连续，那么在这个邻域内f(x)也是连续的。 因此，当x接近x0时，f(x)会逐渐变小，但是由于f(x)在邻域内单调递增，所以f(x)不可能在x0的左侧取得最小值。 同理，由于f(x)在x0的右侧单调递增，所以f(x)也不可能在x0的右侧取得最小值。 因此，我们可以得出结论：f(x)在x0处取得极小值。这是因为在x0处，f(x)既不可能在左侧取得更小的值，也不可能在右侧取得更小的值，只有在x0处取得最小值。