Question

已知三角形abc内角ABC的对边分别为abc+且b+c/a=cosC+根号3sinC求a+c/b的取值+

Answer 1

问：已知三角形abc内角ABC的对边分别为abc+且b+c/a=cosC+根号3sinC求a+c/b的取值+

答：根据正弦定理，有：a/sinA = b/sinB = c/sinC 将对边分别表示出来，得：a/(b+c) = b/a = c/(b+c+a) 即a^2 = b(b+c) ——式（1） b/a = sinB/sinA = sinC/sinB = （cosC+√3sinC）/sinB 带入正弦定理得：a/cosA = b/cosB = c/cosC 即a/b = cosA/cosB = cosA/cosC = （sinB/sinC）×（cosA/cosB） 代入sinB/sinC和cosC+√3sinC/sinB的表达式，整理得：a/b = 2cosA/（cosC+cosA+√3sinA） 同理可得c/b = 2cosC/（cosA+cosC+√3sinA） 将c/b带入a^2 = b(b+c)中得：a^2 = b^2 + bc 代入cosA =（b^2 + c^2 - a^2）/2bc，化简得：cosA = （b+c）/2a 同理可得cosC = （a+b）/2c 将cosC和cosA带入c/b和a/b的表达式中，化简得：c/b = （a+2c-b）/（a+b+c） ——式（2） a/b = （2a+b-c）/（a+b+c） 将式（1）和式（2）代入，消去b+c和a+c，得：a^2 - ac - 2c^2 = 0 解得a/c = （1+√3）/2 将a/c代入c/b和a/b的表达式中，得：c/b = （3-√3）/2 a/b = （3+√3）/2 因此，a+c/b的取值为（1+√3）/2 + （3+√3）/2 = 2+√3

问：这边看不到信息

问：可以打字吗

答：# 根据正弦定理 根据正弦定理，有：a/sinA = b/sinB = c/sinC 将对边分别表示出来，得：a/(b+c) = b/a = c/(b+c+a) 即a^2 = b(b+c) ——式（1） b/a = sinB/sinA = sinC/sinB = （cosC+√3sinC）/sinB 带入正弦定理得：a/cosA = b/cosB = c/cosC 即a/b = cosA/cosB = cosA/cosC = （sinB/sinC）×（cosA/cosB） 代入sinB/sinC和cosC+√3sinC/sinB的表达式，整理得：a/b = 2cosA/（cosC+cosA+√3sinA） 同理可得c/b = 2cosC/（cosA+cosC+√3sinA） 将c/b带入a^2 = b(b+c)中得：a^2 = b^2 + bc 代入cosA =（b^2 + c^2 - a^2）/2bc，化简得：cosA = （b+c）/2a 同理可得cosC = （a+b）/2c 将cosC和cosA带入c/b和a/b的表达式中，化简得：c/b = （a+2c-b）/（a+b+c） ——式（2） a/b = （2a+b-c）/（a+b+c） 将式（1）和式（2）代入，消去b+c和a+c，得：a^2 - ac - 2c^2 = 0 解得a/c = （1+√3）/2 将a/c代入c/b和a/b的表达式中，得：c/b = （3-√3）/2a/b = （3+√3）/2 因此，a+c/b的取值为（1+√3）/2 + （3+√3）/2 = 2+√3

问：是a+c/b取值范围

答：# 根据余弦定理 根据余弦定理，有：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ 将对边表示出来，得：$a^2 = (b+c)^2 - 4bc \sin^2(\frac{A}{2})$ 因为 $\sin^2(\frac{A}{2}) = \frac{1-\cos A}{2}$ 代入上式得：$a^2 = (b+c)^2 - 2bc(1+\cos A)$ 同理可得 $c^2 = (a+b)^2 - 2ab(1+\cos C)$ 将 $\frac{b+c}{a} = \cos C + \sqrt{3} \sin C$ 带入化简得：$\cos C = \frac{b+c}{a} - \sqrt{3} \sin C$ 代入 $\cos A + \cos C = \frac{b}{a} + \frac{a}{c}$，整理得：$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 + bc}{ac} (\sqrt{3} \sin C)$ 同理可得 $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2 + ab}{ac} (\sqrt{3} \sin C)$ 将 $\cos A$ 和 $\cos C$ 代入 $a^2$ 和 $c^2$ 的式子中，得：$a^2 = b^2 + bc + c^2 (1+\sqrt{3} \sin C)$ $c^2 = a^2 + ab + b^2 (1+\sqrt{3} \sin C)$ 将 $c^2$ 和 $b^2$ 代入 $a^2$ 的式子中，得：$a^2 = (\frac{ab+ac+bc}{1+\sqrt{3} \sin C})$ 代入 $\frac{a+c}{b} = \frac{a}{b} (\frac{a^2+ab+ac}{a^2+bc})$，得：$\frac{a+c}{b} = \frac{1+\sqrt{3} \sin C}{2}$ 因此，$\frac{a+c}{b}$ 的取值范围为 $[ \frac{1}{2}, 1+\frac{\sqrt{3}}{2} ]$。