把函数f(x) =(x2+1)arctanx展开为x的幂级数
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您好，很高兴为您解答。我们可以利用幂级数展开的思想，将函数 f(x)=(x^2+1)\arctan x 展开为 x 的幂级数，具体步骤如下：首先，我们知道 $\arctan x$ 的幂级数展开式为：\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}x{2n+1}然后，将原函数拆分为两个部分：f(x) = (x^2 + 1) \arctan x = x^2 \arctan x + \arctan x接着，我们将 $x^2 \arctan x$ 中的 $\arctan x$ 替换为其幂级数展开式：x^2 \arctan x = x^2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+3}最后，将 \arctan x$ 的幂级数展开式与 x^2 \arctan x 的幂级数展开式相加即可得到原函数 f(x)的幂级数展开式：\begin{aligned}f(x) &= x^2 \arctan x + \arctan x \\&= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+3} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} \\&= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}\lef(x^2 + 1\right)\end{aligned}因此，函数 $f(x) =(x^2+1)\arctan x$ 的幂级数展开式为：f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}\left(x^2 + 1\right)
咨询记录 · 回答于2024-01-26
把函数f(x) =(x2+1)arctanx展开为x的幂级数
亲爱的用户，您好！以下是关于函数 $f(x) = (x^2+1)\arctan x$ 的幂级数展开的详细步骤：
首先，我们知道 $\arctan x$ 的幂级数展开式为：
$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$
接着，将原函数拆分为两个部分：
$f(x) = (x^2 + 1) \arctan x = x^2 \arctan x + \arctan x$
然后，我们将 $x^2 \arctan x$ 中的 $\arctan x$ 替换为其幂级数展开式：
$x^2 \arctan x = x^2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+3}$
最后，将 $\arctan x$ 的幂级数展开式与 $x^2 \arctan x$ 的幂级数展开式相加即可得到原函数 $f(x)$ 的幂级数展开式：
$\begin{aligned}
f(x) &= x^2 \arctan x + \arctan x \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+3} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}\left(x^2 + 1\right)
\end{aligned}$
因此，函数 $f(x) = (x^2+1)\arctan x$ 的幂级数展开式为：
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}\left(x^2 + 1\right)$
为什么答案是这个
亲亲
图片收到了哦。
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亲亲~因为答案是对的哦，所以答案才是这个的哦。
~因为答案是对的哦，所以答案才是这个的哦。
亲亲~您的图变模糊的哦，您这边以文字的方式发送给老师，老师这边给您解答的哦。
~您的图变模糊的哦，您这边以文字的方式发送给老师，老师这边给您解答的哦。
老师你能手写之后发图片吗
亲亲~可以发截图的哦，老师这边是没有办法手写的哦。
~可以发截图的哦，老师这边是没有办法手写的哦。
亲亲~以上就是的哦。
~以上就是的哦。
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