Question

设定义在R上函数f(x)、g(x)满足f(x+1)-g(2-x)=2,f(x-2)=g(x-3)+a,

Answer 1

问：设定义在R上函数f(x)、g(x)满足f(x+1)-g(2-x)=2,f(x-2)=g(x-3)+a,

答：其中a为某个实数常数。我们可以利用已知条件逐步推导出f(x)和g(x)的表达式。首先，将第一个等式中的x替换为x-1，可得 f(x) - g(3-x) = 2。接着，将第二个等式中的x替换为x+2，可得 f(x) = g(x-1) + a。将这个式子代入上面得到的式子中，可得 g(x-1) + a - g(3-x) = 2，移项整理得 g(x) - g(4-x) = 2 - a。再将第二个等式中的x替换为x+3，得到 f(x+1) = g(x) + a，结合第一个等式可得 g(5-x) - g(x-1) = -2。综上所述，我们得到了两个关于g(x)的等式 g(x) - g(4-x) = 2 - a 和 g(5-x) - g(x-1) = -2。这两个等式可以组成一个关于g(x)的方程组，通过求解此方程组可得函数g(x)。将g(x)带入 f(x) = g(x-1) + a 的式子中，即可确定函数f(x)。具体来说，两个方程相减可以消去g的变量从而得到一个常数，因此将第一个方程乘以2，两个方程相加即得 2g(x) - g(x-1) + g(5-x) - g(4

答：具体来说，两个方程相减可以消去g的变量从而得到一个常数，因此将第一个方程乘以2，两个方程相加即得 2g(x) - g(x-1) + g(5-x) - g(4-x) = 0。将其化简得 2g(x) - g(x-1) + g(5-x) - g(4-x) = 0，即 3g(x) - 3g(2) = 0，从而得到 g(x) = g(2) + x。将 g(x) = g(2) + x 代入 g(5-x) - g(x-1) = -2 的式子中可得 g(3+x) - g(x-1) = -2。将 g(x) = g(2) + x 进一步代入，得到 g(5) - g(1) = -2，即 g(2) + 3 - g(2) - 1 = -2，从而得到 g(2) = 0。因此，我们得到 g(x) = x，f(x) = x + a。通过第一个等式 f(x+1) - g(2-x) = 2 可以解出 a = 1。因此，函数f(x) = x + 1，g(x) = x，常数a = 1。