Question

均匀薄球壳的转动惯量推导

Answer 1

要推导均匀薄球壳的转动惯量，我们可以使用积分的方法。设球壳的质量为M，半径为R，转动轴与球心重合。考虑球壳上任意一点的质量元dM，距离转动轴的距离为r。
球壳的转动惯量表示为I=∫r^2dm（积分表示）。
对于均匀薄球壳，质量元dM可以表示为dM=ρdV，其中ρ为单位体积的质量，dV为质量元的体积。
球壳的体积元dV可以表示为dV=adA，其中a为球壳的厚度（也即球壳的宽度），dA为质量元在球面上的投影面积。
根据球壳的几何关系，可以得到球壳表面上的元面积dA=2πra，这里采用的是球壳的极坐标系。
代入上述表达式，有dM=ρadA=2ρπra^2dr。
将dM代入转动惯量的积分表达式，可得I=∫r^2dM=∫r^2（2ρπra^2dr）。
对上式进行积分，限制r的范围为0到R，得到I=2ρπa^2∫r^3dr=2ρπa^2[r^4/4]从0到R。
化简可得I=ρπa^2[R^4/2]=（1/2）MR^2。
综上所述，均匀薄球壳的转动惯量为（1/2）MR^2，其中M为球壳的质量，R为球壳的半径。