Question

abc为正实数+a³+b³+c³大于等于3abc+不等式同时除以abc怎么证明

Answer 1

问：abc为正实数+a³+b³+c³大于等于3abc+不等式同时除以abc怎么证明

问：不用因式分解

答：亲您好很荣幸为您解答哦!这道题证明方法如下：a^3+b^3+c^3-3abc=(a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3)+c^3-3a^2*b-3ab^2-3abc=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(1/2)*(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]因为[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0,当仅当a=b=c时等号成立又因为：a+b+c>0.所以(1/2)*(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0于是对一切正实数a、b、c都有a^3+b^3+c^3≥3abc成立.当仅当a=b=c时等号成立.还可以这样证：(a3+b3)-[(a^2)b-a(b^2)]=[a^3-(a^2)b]-[(a^2)b-b^3]=[(a^2)-(b^2)]*(a-b)=(a+b)*(a-b)^2≥0即　a3+b3≥(a^2)b＋a(b^2)（等号成

答：即　a3+b3≥(a^2)b＋a(b^2)（等号成立的条件是a＝b）同理b3+c3≥(b^2)c＋b(c^2)（等号成立的条件是b＝c）　　c3+a3≥(c^2)a＋c(a^2)（等号成立的条件是c＝a）把以上三式相加可得：2(a3+b3+c3)≥(a^2)b＋a(b^2)+(b^2)c＋b(c^2)+(c^2)a＋c(a^2)＝[(a^2)+(b^2)]c+[(b^2)+(c^2)]a+[(c^2)+(a^2)]b　　　　　　≥2abc+2abc+2abc　　　　　　＝6abc所以　a3+b3+c3≥3abc,当仅当a=b=c时等号成立.

答：不等式证明方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法、换元法、构造法等。作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0。换元法：换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简。