Question

求函数 e^(1/z)sin(1/z)，在z=0的留数

Answer 1

问：求函数 e^(1/z)sin(1/z)，在z=0的留数

答：亲，您好，函数 e^(1/z)sin(1/z)，在z=0的留数为 c_{-1} = a_{-1} * b_1，要计算函数 f(z) = e^(1/z) * sin(1/z) 在 z = 0 处的留数，我们可以利用留数定理。首先，我们将 f(z) 展开成洛朗级数形式。观察到在 z = 0 处，被级数展开的函数是 e^(1/z)sin(1/z)。我们可以考虑将 e^(1/z) 展开成洛朗级数，然后与 sin(1/z) 相乘。洛朗级数展开的一般形式为：f(z) = Σ(c_n * (z - z_0)^n)其中，c_n 是级数的系数，z_0 是展开点。对于 e^(1/z)，我们可以将其展开成洛朗级数：e^(1/z) = Σ(a_n * (z - z_0)^n)然后，我们考虑 sin(1/z)：sin(1/z) = Σ(b_n * (z - z_0)^n)现在，我们将两个级数相乘，可以得到留数的表达式。但由于 e^(1/z) 在 z = 0 处有一个本质奇点，因此我们需要考虑级数的主要部分。留数定理告诉我们，留数可以通过级数展开中的 c_{-1} 来计算。在这种情况下，我们只需要考虑 e^(1/z) 的主要部分：e^(1/z) = Σ(a_n * (z - z_0)^n) (只保留 n < 0 的项)因此，将 e^(1/z) 展开成洛朗级数后，只需要保留 a_n (n < 0) 的项，其它项都为零。然后，将 e^(1/z) 的主要部分与 sin(1/z) 的级数展开相乘，并保留 c_{-1} 项。这个项对应于将 a_n (n < 0) 与 b_1 相乘的项。所以，在 z = 0 处的留数就是 c_{-1} = a_{-1} * b_1。