Question

已知函数f(1-x)=x+x/(a+x),若对于任意x1,x2∈(-2,-1),都有[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>-1,求a取值范围

Answer 1

问：已知函数f(1-x)=x+x/(a+x),若对于任意x1,x2∈(-2,-1),都有[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>-1,求a取值范围

答：首先，将f(1-x)代换成x： f(1-x) = x + x/(a+x) 令y = 1 - x，则可以得到： f(y) = 1 - y + (1 - y) / (a + 1 - y) 根据题意，对于任意的x1, x2 ∈ (-2,-1)，都有 [f(x1) - f(x2)] / (x1 - x2) > -1。 即： [f(x1) - f(x2)] / (x1 - x2) > -1 将x1和x2替换成y1 = 1 - x1，y2 = 1 - x2，有： [f(y1) - f(y2)] / (y1 - y2) > -1 展开化简，得到： [(1 - y1 + (1 - y1) / (a + 1 - y1)) - (1 - y2 + (1 - y2) / (a + 1 - y2))] / (y1 - y2) > -1 化简后得： [(y2 - y1) / (a + 1 - y1)(a + 1 - y2) + (y2 - y1) / (a + 1 - y1) + (y2 - y1) / (a + 1 - y2)] / (y1 - y2) > -1

答：将分子相同项进行合并，得： [(y2 - y1)(a + 1 - y1 + 1 + a + 1 - y2) + (y2 - y1)(a + 1 - y2 + 1) / [(a + 1 - y1)(a + 1 - y2)] / (y1 - y2) > -1 数量级化简为： 2(a + 1) / [(a + 1 - y1)(a + 1 - y2)] > -1 取消分母中的 (a + 1 - y1)(a + 1 - y2) 的符号，得： 2(a + 1)(a + 1 - y1)(a + 1 - y2) > -(a + 1)^2 化简为： 2(a + 1)(a + 1 - y1)(a + 1 - y2) + (a + 1)^2 > 0 展开化简，得到： 2a^3 + 3a^2 - 4a - 1 > 0 化简后得： (a + 1)(2a + 1)(a - 1) > 0 解此不等式，可以得到 a ∈ (-1/2, -1) 或 a > 1 所以，a取值范围为： a ∈ (-1/2, -1) 或 a > 1 。