Question

(1+1/n)^n<e

Answer 1

问：(1+1/n)^n

答：亲亲您好，很高兴为您解答哦这是一个常见的数学不等式，称为欧拉不等式。这个不等式可以用来证明e的计算公式中的级数收敛。证明:令f(n) = (1+1/n)^n - e则需要证明f(n) 0考虑f(n+1)/f(n)= [(1+1/(n+1))^{n+1} - e] / [(1+1/n)^n - e]= [(1+1/n)^n * (1+1/(n+1)) - e] / [(1+1/n)^n - e]= [(1 + n/n+1)^{n+1} * (1 + 1/n+1)^(n+1) * n/(n+1)^{n+1} - (1+1/n)^n * e] / [(1+1/n)^n - e]= [(1+1/n+1)^{n+1} * n/(n+1)^{n+1} - e] / [(1+1/n)^n - e]首先可以证明，(1+1/n+1)^(n+1) > n/(n+1)^n，因为(1+1/n+1)^(n+1)= [(n+2)/(n+1)]^(n+1)= [(n+2)/n]^n * (n+2)/(n+1)> [(n+2)/n]^n而 [(n+2)/n]^n = [(1+2/n)^n] > 1 (这是因为当n >= 1时，(1+2/n)^n始终>2)因此 (1+1/n+1)^(n+1) > n/(n+1)^n所以 f(n+1)/f(n) > (n/(n+1))^n - e/(1+1/n)^n由于右侧第一个项趋近于1/e，而右侧第二个项小于1，所以f(n+1)/f(n) > 0由于f(1) < 0，所以f(n)随着n的增大而减小，也就是说f(n) < 0因此 (1+1/n)^n < e，证毕。

问：看不明白

问：字母太乱

答：可以利用数学归纳法证明： 当n=1时，左边等于(1+1/1)^1=2，右边等于e≈2.71828，显然满足不等式。 假设当n=m时，不等式成立，即(1+1/m)^m (1+1/(m+1))^(m+1) 即证 e > (1+1/(m+1))^(m+1)/((m+1)/m) 注意到(m+1)/m >1，所以有 (1+1/m) * (1+1/(m+1)) < 1 *(m+1)/m = (m+1)/m^2 对两边求m次方，得 ((1+1/m) * (1+1/(m+1)))^m < ((m+1)/m^2)^m = (m+1)^m/m^(2m) 所以(1+1/(m+1))^(m+1) < (m+1)e/(m^2+m) < e，证毕。