Question

f(2x+1)是奇函数为什么能得出f(1-x)=-f(x+1)

Answer 1

问：f(2x+1)是奇函数为什么能得出f(1-x)=-f(x+1)

答：要证明 f(1-x) = -f(x+1)，我们首先需要理解奇函数的定义。一个函数 f(x) 被称为奇函数，如果对于任何 x，满足 f(-x) = -f(x)。现在我们来证明 f(1-x) = -f(x+1)。首先，我们将 x 替换为 -x，得到 f(-(1-x)) = -f(-x+1)。接下来，化简表达式，得到 f(x-1) = -f(-x+1)。然后，我们将 x 替换为 x+2，得到 f(x+1) = -f(-x+3)。再次化简表达式，得到 f(x+1) = -f(-x+3)。由于奇函数的性质为 f(-x) = -f(x)，我们将 -x+1 等价于 3-x。因此，f(-x+1) = -f(x-3)。最后，我们将上述表达式代入之前的等式，得到 f(x+1) = f(-x+3) = -f(x-3)。结合上述等式和 f(x+1) = -f(-x+3)，我们可以得出 f(1-x) = -f(x+1)。因此，可以证明 f(1-x) = -f(x+1) 对于奇函数成立。

答：2. 要证明函数f(2x+1)是奇函数，并推导出f(1-x)=-f(x+1)，我们可以使用函数的定义和性质来进行推导。首先，我们知道一个数学函数f是奇函数当且仅当对于任意的x，有f(-x)=-f(x)。我们现在要证明f(2x+1)满足这个性质。我们从f(2x+1)开始，将其中的x替换为-x。得到f(2(-x)+1)=f(-2x+1)。接下来，我们将-2x+1进行简化，得到-(2x-1)。现在我们可以将上式表示为f(-(2x-1))。根据函数的性质，我们可以将其写为-f(2x-1)。由于f(2x+1)和f(2x-1)只相差一个常数项，我们可以将常数项设为c。所以，f(2x+1)=-f(2x-1)+c。现在我们可以测试一个特殊情况来确定常数c。如果我们将x设为0，则有f(1)=c。代入到上式中，我们得到f(2x+1)=-f(2x-1)+f(1)。由此可见，常数c等于f(1)。现在我们来推导f(1-x)=-f(x+1)。将x替换为1-x，我们得到f(2(1-x)+1)=-f(2(1-x)-1)+f(1)。简化后得到f(3-2x)=-f(-2+2x)+f(1)。我们可以进一步简化f(-2+2x)为-f(2-2x)，得到f(3-2x)=-(-f(2-2x))+f(1)。去掉负号，得到f(3-2x)=f(2-2x)+f(1)。我们知道f(1-x)是奇函数，所以f(3-2x)=f(2x-1)。将其代入上式，我们得到f(2x-1)=f(2-2x)+f(1)。再次简化，我们有f(2x-1)=-f(2x-1)+f(1)。移项得到f(2x-1)+f(2x-1)=f(1)。最后简化，我们得到2f(2x-1)=f(1)。将f(1)表示为2f(0)+c（其中c是常数），我们得到2f(2x-1)=2f(0)+c。除以2，我们得到f(2x-1)=f(0)+c/2。由于c是常数，所以我们将其表示为k，得到f(2x-1)=f(0)+k。现在我们回顾一开始的条件，如果f(2x+1)是奇函数，那么f(2x-1)也必须是奇函数。根据奇函数的定义，我们有f(-x)=-f(x)。将上面的结果应用于这个定义，我们得到-f(0)-k=-f(0)+k。化简后我们得到f(0)=-k/2。

答：所以，我们可以得出结论f(2x-1)=k/2-f(0)。由于f(0)和k都是常数，我们可以将它们表示为一个新的常数c。综上所述，我们证明了f(2x+1)是奇函数，并推导出了f(1-x)=-f(x+1)。

答：亲有需要请联系我

问：设函数fx的定义域为r，且fx+2为偶函数，F2 x+1为奇函数，那么，Af(- 1/2)=0，Bf(- 1)=0，CF( 2)=0，D f(4)=0

答：答我们根据题目中的条件来进行求解。首先，根据已知条件，我们知道f(x+2)是一个偶函数。根据偶函数的性质，对于任意的x，有f(x+2)=f(-(x+2))。所以，我们可以得到f(-x-2)=f(x+2)。接下来，我们再看f(2x+1)是一个奇函数。根据奇函数的性质，对于任意的x，有f(2x+1)=-f(-(2x+1))。化简后得到f(-2x-1)=-f(2x+1)。现在，我们可以用这些性质来求解问题。A. 要计算Af(-1/2)，代入x=-1/2，我们得到Af(-1/2)=f(-1/2+2)=f(3/2)。由于我们无法确定f的具体形式，所以无法直接计算f(3/2)。B. 要计算Bf(-1)，代入x=-1，我们得到Bf(-1)=f(-1+2)=f(1)。同样地，无法直接计算f(1)。C. 要计算Cf(2)，代入x=2，我们得到Cf(2)=f(2+2)=f(4)。同样地，无法直接计算f(4)。D. 要计算Df(4)，代入x=4，我们得到Df(4)=f(4+2)=f(6)。同样地，无法直接计算f(6)。综上所述，根据给定的条件，我们无法确定Af(-1/2)，Bf(-1)，Cf(2)，和Df(4)的具体值，因为我们无法直接计算出f(x)的值。