Question

二重积分I=(1+x^2y)/(1+x^2+y^2)dxdy其中+D=((x,y)|x^2+y^21,x0)

Answer 1

问：二重积分I=(1+x^2y)/(1+x^2+y^2)dxdy其中+D=((x,y)|x^2+y^21,x0)

答：你好，二重积分I的计算如下：首先对x进行积分，得到：∫(1+x^2y)/(1+x^2+y^2)dx = x - arctan(x/y)将上式代入原式中，并对y进行积分，得到：I = ∫[∫(1+x^2y)/(1+x^2+y^2)dx]dy = ∫[y/2 - (1/2)arctan(x/y) + C]dy = (y^2/2 - (1/2)yarctan(x/y))|x^2+y^2=0其中C为常数。

答：1. 在对x积分时，我们可以使用换元法，令u=1+x^2+y^2，从而du=2xdx。这样，原式就可以表示为∫(1+x^2y)/udu，进而计算出I的值。2. 在对y积分时，我们可以使用三角函数的性质，将arctan(x/y)表示为arctan(y/x)，然后利用奇偶性或者反函数的关系来化简积分式子。3. 如果我们要求解的是类似于D={(x,y)|x^2+y^2=0}的圆盘区域的二重积分，我们可以使用极坐标系来简化计算。具体地，令x=r cosθ，y=r sinθ，然后将原式中的x和y分别用r和θ表示，最后变成对r和θ的积分。