Question

f(z)＝1/z(z+1)²在1<|z-1|<2改成洛朗级数

Answer 1

问：f(z)＝1/z(z+1)²在1<|z-1|<2改成洛朗级数

答：要将函数 f(z) = 1/z(z+1)² 展开成洛朗级数，在给定的环形区域 1 < |z-1| < 2 内，可以按照幂级数的形式展开。

答：1、展开点 z = 1 是函数 f(z) 的奇点，因为在这个点上分母为零。所以将展开点选择为 z = 1，然后进行展开。根据洛朗级数的一般形式，展开后的函数可以表示为：f(z) = Σ(An * (z - 1)^n)，其中 n 取负无穷到正无穷的整数。2、现在计算系数 An。根据洛朗级数展开的公式，An 的计算可以通过以下公式得到：An = (1/(2πi)) * ∮(f(z) * (z - 1)^(-n-1), dz)，其中积分路径是围绕展开点 z = 1 的逆时针闭合曲线。根据给定的函数 f(z) = 1/z(z+1)²，可以将其写为部分分式展开的形式：f(z) = A/z + B/(z - 1) + C/(z - 1)²

答：然后，可以逐个计算系数 An，其中 n 取负无穷到正无穷的整数。但由于在这个问题中只要求展开在 1 < |z-1| < 2 的环形区域内，只需要计算负次幂的系数。

问：具体过程能写出来吗

答：因此，根据上述公式，可以得到洛朗级数展开后的函数形式，并计算出相应的系数。

问：我需要具体解答过程

答：1、已知函数f(z) = 1/z(z+1)²在1 <|z-1| <2 的环形区域展开成洛朗级数。2、确定展开的中心点，在已知情况下，中心点是z = 1。3、洛朗级数的一般形式为：f(z) = Σ [aₙ(z - z₀)ⁿ] + Σ [bₙ(z - z₀)ⁿ⁻ᵏ]其中，aₙ 和 bₙ 是展开系数，n 是正整数，k 是非负整数，z₀ 是中心点。

答：4、函数f(z) 的极点和留数：函数f(z) = 1/z(z+1)² 在 z = 0 和 z = -1 处有极点。（留数可以通过求极点的Laurent级数展开系数来计算。）在 z = 0 处，极点的阶数为 1，留数为 Res(z=0) = a₁ = 1. 在 z = -1 处，极点的阶数为 2，留数为 Res(z=-1) = b₁ = -1.5、根据以上信息构建洛朗级数展开：f(z) = a₁(z - z₀)ⁿ + b₁(z - z₀)ⁿ⁻ᵏf(z) = 1(z - 1) + (-1)(z - 1)²f(z) = (z - 1) - (z - 1)²这是z = 1 的洛朗级数展开形式。

答：这下清晰了吧