Question

3下列函数在(0,0)点处,取极值但偏导不存在的为().z=xy:B z=x^2+y^2 ; Cz=-x-y

Answer 1

问：3下列函数在(0,0)点处,取极值但偏导不存在的为().z=xy:B z=x^2+y^2 ; Cz=-x-y

答：同学对于函数B和C，它们在(0,0)处的偏导数都存在且都为0，因此它们在这一点处可能取得极小值、极大值或者驻点。但是因为题目要求偏导数不存在，因此这两个函数都不符合要求。对于函数A，它在(0,0)处的偏导数不存在，因此可以考虑用极限的方式来判断其在该点的极值情况。首先，对于在x轴、y轴上的点，函数值均为0；而在其他的点上，函数值的正负性由x和y的符号决定。因此，我们只需要考虑第一象限中的情况，即x>0, y>0时，有：\lim_{(x,y)\to(0,0)}(xy)=0此时函数值可以取得最小值为0，在原点处。综上所述，函数A在(0,0)点处取得极小值。