Question

y=x^3-x^2-x+1+在(-2,3】内与x轴所围成的面积

Answer 1

问：y=x^3-x^2-x+1+在(-2,3】内与x轴所围成的面积

答：亲，您好哈。很高兴为您解答这个问题：y=x^3-x^2-x+1+在(-2,3】内与x轴所围成的面积我们可以通过定积分公式来求该函数在给定区间内与x轴所围成的面积。具体地，我们需要计算如下积分：∫[-2,3] (x^3-x^2-x+1)dx我们可以使用不定积分法先求出该函数的原函数：∫ x^3 dx - ∫ x^2 dx - ∫ x dx + ∫ 1 dx = 1/4 x^4 - 1/3 x^3 - 1/2 x^2 + x + C其中C为任意常数。然后，根据定积分公式计算该函数在给定区间内的面积：∫[-2,3] (x^3-x^2-x+1)dx = [1/4 x^4 - 1/3 x^3 - 1/2 x^2 + x]_{-2}^3= [(1/4*3^4 - 1/3*3^3 - 1/2*3^2 + 3) - (1/4*(-2)^4 - 1/3*(-2)^3 - 1/2*(-2)^2 - 2)]= [63/4 - 26/3] = 15/4因此，该函数在(-2,3]内与x轴所围成的面积为15/4。

问：y=1/2x^3-3/2x^2+4x单调区间和极值

答：首先，我们需要求出函数 $y=\frac{1}{2}x^3-\frac{3}{2}x^2+4x$ 的导数，即： $y'=\frac{3}{2}x^2-3x+4$ 接着，我们令导数等于零，解得： $\frac{3}{2}x^2-3x+4=0$ 使用求根公式或因式分解后解得： $x=2,\frac{4}{3}$ 将这两个解带回原式，得到各自的函数值： $y(2)=8,\ y\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{32}{27}$ 由于 $\frac{3}{2}x^2-3x+4$ 是一个开口朝上的二次函数，因此： 1. 当 $x0$，函数 $y$ 单调递增。 2. 当 $\frac{2}{3}

问：那函数的凹凸区间和拐点呢

答：一个函数的凹凸性是描述该函数曲线的弯曲程度和方向变化的属性。 如果函数曲线在某一区间上呈现出上凹或下凸的形状，那么这个区间就称为函数的凹区间（上凹）或凸区间（下凸）。 如果函数在某一点上的曲线由下凹转为了上凸，或者由上凸转为了下凹，那么这个点就称为函数的拐点。在拐点处，曲线的切线发生了突然的旋转，因此这些点通常被认为是函数曲线变化最剧烈的位置。 函数的凹凸性和拐点可以通过对函数的二阶导数进行分析来确定。如果函数的二阶导数在某一区间上为正，则函数在该区间上为下凸；如果二阶导数为负，则函数在该区间上为上凸。拐点即为函数二阶导数等于零且存在的点。 因此，我们可以通过求解函数的一阶和二阶导数来判断函数的凹凸性和拐点的情况。

问：y=1/2x^3-3/2x^2+4x的凹凸区间和拐点呢

答：首先，我们需要求出函数的二阶导数： y' = 3/2x^2 - 3x + 4 y'' = 3x - 3 然后，令y'' = 0，解得 x = 1。 接下来，将 x = 1 带入 y'' 中，我们得到 y''(1) = 0。 根据以上分析，我们发现在 x = 1 处存在一个拐点。 最后，我们来分析函数的凹凸性。 当 y'' > 0 时，函数为凸函数； 当 y'' < 0 时，函数为凹函数。 令 y'' = 0，我们得到当 x = 1 时，函数由凸转为凹。 再将 x = 1 同时代入 y' 中，我们发现在 x < 1 时，函数为凹函数。 综上所述，该函数的拐点为 x = 1，凹凸性变化点也为 x = 1，并且在区间 (-∞,1) 和 (1,+∞) 内分别为凸函数和凹函数。