Question

幂级数在收敛域内一定绝对收敛吗

Answer 1

问：幂级数在收敛域内一定绝对收敛吗

答：幂级数在其收敛域内不一定绝对收敛。对于幂级数∑�=0∞����∑n=0∞​an​xn，其收敛域为一个区间(−�,�)(−R,R)，其中�R为收敛半径。当�x在收敛域内时，幂级数是收敛的。但是对于某些�x值，幂级数可能只是条件收敛的而不是绝对收敛的。当幂级数在收敛域内绝对收敛时，由于$$ \left|a_nx^n\right| = |a_n||x|^n \leq M|x|^n其中$M=\sup\{|a_n|\}$为级数的一个上界，因此可以使用比较判别法得出命题的正确性。 但是当幂级数只是条件收敛时，有以下例子可以证明：考虑级数$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n}=\ln2$，该级数在$x=1$处条件收敛。如果我们对该级数每一项取绝对值，得到级数$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}$，这是一个发散的调和级数。因此，在$x=1$处幂级数是条件收敛但不是绝对收敛的。 所以，幂级数在其收敛域内不一定绝对收敛，具体需要根据级数本身的特性来判断。