Question

4证明:当r0时,一阶线性常系数非齐次差分方程x=+(1+r)x,++b,+k=0,1,2,+(b0)的+

Answer 1

问：4证明:当r0时,一阶线性常系数非齐次差分方程x=+(1+r)x,++b,+k=0,1,2,+(b0)的+

答：由题可知，该一阶线性常系数非齐次差分方程为：x_{k+1} = (1+r) x_k + b_k其中，k=0,1,2,...，b_0 为常数。我们可以尝试使用数学归纳法来证明当 r=r0 时，该差分方程具有解析解。当 k=0 时，方程变为：x_1 = (1+r0) x_0 + b_0当 k=1 时，方程变为：x_2 = (1+r0) x_1 + b_1将 x_1 的表达式代入上式中得：x_2 = (1+r0) [(1+r0) x_0 + b_0] + b_1化简得：x_2 = (1+r0)^2 x_0 + (1+r0) b_0 + b_1当 k=2 时，方程变为：x_3 = (1+r0) x_2 + b_2将 x_2 的表达式代入上式中得：x_3 = (1+r0) [(1+r0)^2 x_0 + (1+r0) b_0 + b_1] + b_2化简得：x_3 = (1+r0)^3 x_0 + (1+r0)^2 b_0 + (1+r0) b_1 + b_2通过对前几项的分析，我们可以发现 x_k 满足如下形式的递推式：

答：x_k = (1+r0)^k x_0 + (1+r0)^(k-1) b_0 + (1+r0)^(k-2) b_1 + …… + (1+r0) b_{k-2} + b_{k-1}这是一个经典的一阶线性差分方程，其通解为：x_k = c (1+r0)^k + x0其中，c 是一个常数，x0 是初始条件 x_0。因此，当 r=r0 时，该一阶线性常系数非齐次差分方程具有解析解：x_k = c (1+r0)^k + x0，其中 c 和 x0 取决于初始条件。