Question

1*1+2*2+3*2^2+4*2^3+…100*2^99

Answer 1

问：1*1+2*2+3*2^2+4*2^3+…100*2^99

问：1*1+2*2+3*2^2+4*2^3+…100*2^99

问：？

答：亲 你好 有关含“…”整数求和问题，往往需要将各加数分裂为两数的差，然后采用错位相加抵消法进行简便计算，此时就需要用到连续整数积的裂项公式。

答：（一）单独正整数n的裂项公式由于n(n+1)-(n-1)n=n2+n-n2+n=2n，所以n=[n(n+1)-(n-1)n]/2.例如，计算：101+102+103+…+2019.解：原式=[101×102-100×101+102×103-101×102+…+2019×2020-2018×2019]/2=[-100×101+2019×2020]/2=2034140.

答：（二）两个连续整数积n(n+1)的裂项公式由于n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)=n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1)，所以n(n+1)=[ n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3.例如，计算：1×2+2×3+3×4+…99×100。解：原式=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+99×100×101-98×99×100]/3=[0+99×100×101]/3=333300.

问：不是这个意思呀

问：是等比数列

问：答非所问啊

答：分析：通过观察，把原式变为1×（1+1）+2×（2+1）+3×（3+1）+…+98×（98+1）+99×（99+1），然后把各项展开，得到12+1+22+2+32+3+…+982+98+992+99，再把平方数余平方数相加，其余数相加，然后运用公式12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）÷6，解决问题．解答：解：1×2+2×3+3×4+…+99×100，=1×（1+1）+2×（2+1）+3×（3+1）+…+98×（98+1）+99×（99+1），=12+1+22+2+32+3+…+982+98+992+99，=（12+22+32+…+982+992）+（1+2+3+…+98+99），=99×（99+1）×（2×99+1）÷6+（1+99）×99÷2，=325050+4950，=330000．