Question

有关函数的奇偶性与周期性的基本知识

Answer 1

一、函数的奇偶性
　　1.定义：对于函数f(x),如果对于定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)为奇函数；
　　对于函数f(x),如果对于定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)为偶函数；
　　2.性质：
　　(1)函数依据奇偶性分类可分为：奇函数非偶函数,偶函数非奇函数,既奇且偶函数,非奇非偶函数；
　　(2) f(x),g(x)的定义域为D；
　　(3)图象特点：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于原点对称；
　　(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件,奇函数f(x)在原点处有定义,则有f(0)=0；
　　(5)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的形式：f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)=-[f(x)+f(-x)]为偶函数,h(x)=-[f(x)-f(-x)]为奇函数；
　　(6)奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性.
　　3.判断方法：
　　(1)定义法
　　(2)等价形式：f(-x)+f(x)=0,f(x)为奇函数；
　　f(-x)-f(x)=0,f(x)为偶函数.
　　4.拓展延伸：
　　(1)一般地,对于函数y=f(x),定义域内每一个自变量x,都有f(a+x)=2b-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称；
　　(2)一般地,对于函数y=f(x),定义域内每一个自变量x都有f(a+x)=f(a-x),则它的图象关于x=a成轴对称.
　　二、周期性：
　　1.定义：对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当自变量x取定义域内的每一个值时,都有f(x)=f(x+T)成立,那么就称函数y=f(x)为周期函数.
　　2.图象特点：
　　将函数y=f(x)的图象向左(右)平移的整数倍个单位,所得的函数图象与函数y=f(x)的图象重合.
　　3.函数图象的对称性与周期性的关系：
　　(1)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x),(a、b不相等的常数)则函数为周期函数.(周期为：2|a-b|)
　　(2)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=-f(b-x),(a、b不相等的常数)则函数为周期函数.(周期为：2|a-b|)
　　(3)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=f(b-x),(a、b不相等的常数)则函数为周期函数.(周期为：4|a-b|)