Question

若矩阵A可逆，证明：AB～BA

Answer 1

问：若矩阵A可逆，证明：AB～BA

答：您好，证明:因 A‘(AB)A=(A‘A)(BA) =BA,且 A可逆,则 AB ~ BA 。因为A可逆,所以有 A^-1(AB)A = BA所以 AB BA (相似)

答：根据定义A~P^-1AP就是存在可逆矩阵M使A=M^-1(P^-1AP)M那么令M=p^-1即可∴对题中,存在可逆矩阵A使AB=A(A^-1ABA)A^-1∴AB∽A^-1ABA补充问题：只要A可逆就就有AB～A^-1ABA∵可以找到一可逆矩阵P使：AB=P^-1(A^-1ABA)P只要让P=A^-1就可以了其实对于一个矩阵B来说,一定有B∽P^-1BP无论P是B本身还是其他矩阵,只要P可逆就行