Question

F(x)=∫(0,x)f(t)dt-∫(a,b)f(t)dt,求F(x)的导数

Answer 1

问：F(x)=∫(0,x)f(t)dt-∫(a,b)f(t)dt,求F(x)的导数

答：若f(x)是奇函数，即f(x)= -f(-x)那么F(-x)=∫(0,-x) f(t) dt 代入f(t)= -f(-t)=∫(0,-x) -f(-t) dt=∫(0,x) f(-t) d(-t)=∫(0,x) f(t) d(t)=F(x)所以F(-x)=F(x)因此F(x)是偶函数

问：我想知道最后答案

答：先换元,令w=t-x,则dw=dt从而F(x)=)=∫(-x,0)f(w)dw=-∫(0,-x)f(w)dw再以x求导得到F'(x)=-f(-x)*(-1)=f(-x).注：这里用的公式是：若F(x)=∫(g(x),h(x))f(w)dw,则F'(x)=f[h(x)]*h'(x)-f[g(x)]*g'(x)....