y=ax^2+b/x的图像
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当x>0时，y=ax^2+b/x的图像如图1所示：
图1：
当x=0时，y的值取决于参数b，
当b>0时，y无穷大，
当b=0时，y=0，
当b<0时，y无穷小。
当x<0时，y的图像如图2所示：
图2：
当x=0时，y的值取决于参数b，
当b>0时，y无穷大，
当b=0时，y=0，
当b<0时，y无穷小。
当x>0时，y随x由小到大变化，其图像是一条从原点开始向右上方开口的抛物线；
当x<0时，y随x由大到小变化，其图像是一条从原点开始向左下方开口的抛物线。
咨询记录 · 回答于2023-12-30
y=ax^2+b/x的图像
当x>0时，y=ax^2+b/x的图像如图1所示：
图1：
当x=0时，y的值取决于参数b，
当b>0时，y无穷大，
当b=0时，y=0，
当b<0时，y无穷小。
当xx的图像如图2所示：
图2：
当x=0时，y的值取决于参数b，
当b>0时，y无穷大，
当b=0时，y=0，
当b0时，y随x由小到大变化，其图像是一条从原点开始向右上方开口的抛物线；
当x<0时，y随x由大到小变化，其图像是一条从原点开始向左下方开口的抛物线。
看不见图
图1图2
当a>0时，y=ax^2+b/x的图像是一条开口向上的抛物线，其上端为极大值点，下端为极小值点。当ax的图像是一条开口向下的抛物线，其上端为极小值点，下端为极大值点。
可以用数学归纳法证明：
当a>0时，y=ax^2+b/x的导数为y'=2ax-b/x^2，即当x>0时，y'>0，若x增大，y增大，若x减小，y减小；而当x<0时，y'<0，若x增大，y减小，若x减小，y增大，故上端为极大值点，下端为极小值点。
当ax的导数为y'=2ax-b/x^2，即当x>0时，y'<0，若x增大，y减小，若x减小，y增大；而当x<0时，y'<0，若x增大，y增大，若x减小，y减小，故上端为极小值点，下端为极大值点。
能否画一下图像
不要讨论b吗？
答：
如果b>0，那么该函数在x=0处无定义，其余x处的图像是一条开口向上的抛物线。当x趋向正无穷时，函数值趋向正无穷；当x趋向负无穷时，函数值趋向负无穷。
当b=0时，图像是一条开口向上的抛物线。当x趋向正无穷时，函数值趋向正无穷；当x趋向负无穷时，函数值趋向正无穷。
当b<0时，图像是一条开口向下的抛物线，函数值趋向负无穷。当x趋向正无穷时，函数值趋向负无穷；当x趋向负无穷时，函数值趋向正无穷。
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