Question

运用定积分计算抛物线y的平方等于2x和直线y等于x-2围成的平面图形的面积

Answer 1

问：运用定积分计算抛物线y的平方等于2x和直线y等于x-2围成的平面图形的面积

答：我们可以将抛物线和直线表示为函数形式：抛物线：y = √(2x)直线：y = x - 2要计算由这两条曲线所围成的平面图形 A 的面积，我们可以通过求解它们的交点，得到它们之间的 x 坐标的范围，然后使用定积分求解。首先，我们将抛物线和直线相交，得到它们的交点坐标：√(2x) = x - 22x = (x - 2)²2x = x² - 4x + 4x² - 6x + 4 = 0通过求解方程，我们得到：x = 3 - √5 或 x = 3 + √5因为抛物线的顶点在原点，所以我们只需要考虑它们之间的正半轴的部分。因此，要计算平面图形 A 的面积，我们可以使用定积分求解：A = 2 ∫[0, 3 - √5] [(x - 2) - √(2x)] dx= 2 ∫[0, 3 - √5] [x - √(2x) - 2] dx= 2 [(x²/2 - (2/3)x^(3/2) - 2x) ∣ 0, 3 - √5]= 2 [(9/2 - (2/3)(3 - √5)^(3/2) - 6) - (-2)]= 2 [3 + (2/3)(3 - √5)^(3/2)]≈ 7.377因此，所求的平面图形 A 的面积约为 7.377。