Question

求微分方程y''-3y'+2y=x^2的通解

Answer 1

问：求微分方程y''-3y'+2y=x^2的通解

答：首先，我们需要求解对应齐次微分方程的通解，即y''-3y'+2y=0。我们先考虑特征方程r^2-3r+2=0，其解为r=1或r=2，因此齐次微分方程的通解为y=C1e^x+C2e^2x，其中C1、C2为任意常数。接下来，我们考虑原微分方程y''-3y'+2y=x^2。我们可以猜测一个特解为y*=ax^2+bx+c，其中a、b、c为待定系数。将y*及其前两阶导数代入原微分方程中得到：y''-3y'+2y = 2a - 6ax + 4ax^2 + 2bx - 3(2ax^2+bx+c) + 2(ax^2+bx+c) = (6a-2b)x^2 + (2b-6a+2c)x + (2a-3b+2c)为使y*是原微分方程的特解，需要满足上式中各项系数与x的幂次相等，因此可以得到以下方程组：6a - 2b = 12b - 6a + 2c = 02a - 3b + 2c = 0解得a=1/2，b=3/4，c=1/4，因此y的一个特解为y=1/2x^2+3/4x+1/4。根据线性微分方程的叠加原理，该微分方程的通解为y=C1e^x+C2e^2x+1/2x^2+3/4x+1/4，其中C1、C2为任意常数。

问：求微分方程d^2y/dx^2-4dy/dx-5y=2xe^-x的通解

答：我们先写出特征方程：r^2 - 4r - 5 = 0，解得 r1 = 5 和 r2 = -1。所以通解的形式为 y = c1 * e^(5x) + c2 * e^(-x) + y_p。其中 y_p 是非齐次方程的一个特解，我们采用常数变易法求解。令 y_p = (ax + b) * e^(-x)，则有 y_p' = (-a*x - a + b) * e^(-x) 和 y_p'' = (2a - 2b - ax) * e^(-x)。将 y_p 和 y_p 的导数代入原方程可得：(2a - 4b - 4ax) * e^(-x) = 2x * e^(-x)所以有 a = -1/2，b = -1/4，即 y_p = (-1/2*x - 1/4) * e^(-x)。最终通解为 y = c1 * e^(5x) + c2 * e^(-x) - (1/2*x + 1/4) * e^(-x)。

问：没事 能不能给我细讲一下第一道题怎么得出的关于abc的方程组

问：为什么6a-2b=12b-6a+2c=02a-3b+2c=0

答：y*=ax^2+bx+c满足原微分方程y''-3y'+2y=x^2。将y*代入原微分方程后，我们将其化简得到：2a - 6ax + 4ax^2 + 2bx - 6ax^2 - 3bx - 3c + 2ax^2 + 2bx + 2c = x^2

答：移项并合并同类项后得到：(6a-2b)x^2 + (2b-6a+2c)x + (2a-3b+2c) = x^2为使左边的方程与右边相等，我们需要使左边的各项系数与x的幂次相等。因此，我们得到了方程组：6a-2b=12b-6a+2c=02a-3b+2c=0