Question

已知f(t)↔F(jω),F(jω)=6πδ(ω)-5/(ω²-jω+6),求f(t)

Answer 1

问：已知f(t)↔F(jω),F(jω)=6πδ(ω)-5/(ω²-jω+6),求f(t)

答：根据傅里叶反变换的公式，可以将F(jω)分解为两个部分：F(jω) = 6πδ(ω) - 5/(ω²-jω+6) = 6πδ(ω) - 5/[(ω-j3) (ω+j2)]这里的δ(ω)是狄拉克（Dirac）冲击信号，符号“↔”表示傅里叶变换和傅里叶反变换之间的关系。因此，我们可以通过计算F(jω)的反变换来得到f(t)：f(t) = 1/2π ∫F(jω)e^(jωt) dω对于第一项6πδ(ω)，根据狄拉克冲击信号的性质，其反变换为：1/2π ∫6πδ(ω)e^(jωt) dω = 6对于第二项-5/[(ω-j3) (ω+j2)]，可以通过部分分式分解来计算反变换。具体来说，我们可以将其写成：-5/[(ω-j3) (ω+j2)] = A/(ω-j3) + B/(ω+j2)其中A和B是待定系数。将上式相乘并通分后得：-5 = A(ω+j2) + B(ω-j3)将ω分别取j2和j3得：-5 = Aj2 + Bj30 = Aj3 + Bj2解得：A = -1/5, B = 1/5因此，第二项的反变换为：1/2π ∫-5/[(ω-j3) (ω+j2)]e^(jωt) dω = 1/5 [ e^(j2t) - e^(-j3t) ]因此，将两个部分相加得：f(t) = 6 + 1/5 [ e^(j2t) - e^(-j3t) ]

问：∫后面有上下标吗

答：抱歉，我在回答时漏掉了符号。在一般情况下，反傅里叶变换的公式为：f(t) = 1/2π ∫F(jω) e^(jωt) dω其中，f(t)表示一个时间域的信号，F(jω)表示该信号的傅里叶变换，e^(jωt)是一个复指数函数。符号“∫”表示积分运算，下标和上标分别表示积分的下限和上限。

问：上下标是否分别为正无穷和负无穷

答：是的，一般情况下，反傅里叶变换的积分上限是正无穷，下限是负无穷，如下所示：f(t) = 1/2π ∫F(jω) e^(jωt) dω，积分上限是正无穷，下限是负无穷。通过这种积分运算，可以将一个信号在时间域和频域之间进行互相转换。傅里叶变换将信号从时域变换为频域，而反傅里叶变换则将信号从频域变换回时域。