Question

例15设0<a<b,求证:lnb/a>(2(b-a))/(a+b)

Answer 1

问：例15设0(2(b-a))/(a+b)

答：亲 你好 首先化简左边的不等式，可以将其转换为：ln(b/a) = ln(b) - ln(a)因此，我们需要证明以下不等式成立：ln(b) - ln(a) > (2(b-a))/(a+b)移项可得：ln(b) - (2(b-a))/(a+b) > ln(a)接下来，我们考虑使用数学归纳法证明该不等式对于任意的0 2(b-1)根据小学奥数的知识，不等式(b^2 - b - 2) > 0对于任何b>2或b<-1都成立。因此，只需要证明对于0 ln(a') - (2(a'-a))/(a'+a)由于b>a'>a，因此我们有：ln(b) > ln(a') + (2(a'-a))/(a'+a) + (2(b-a))/(a+b)由于a'+a ln(a')因此，不等式对于a1时，假设不等式对于所有的a'∈(1,a)都成立，则有：ln(b) - (2(b-a))/(a+b) > ln(a') - (2(a'-a))/(a'+a)由于b>a'>a，因此我们有：ln(b) > ln(a') + (2(a'-a))/(a'+a) + (2(b-a))/(a+b)由于a'+a ln(a')因此，不等式对于a>1的情况也成立。综上所述，原不等式对于任意的0

问：为什么这个题用拉格朗日中值定理求解不出来

答：对于某些不等式，使用拉格朗日中值定理可能无法直接求解出来。这是因为拉格朗日中值定理的应用范围比较有限，只能用于求一阶导数的值。在这道题目中，左边的函数是ln(x)，它的一阶导数是1/x。右边的函数是2(b-a)/(a+b)，它的一阶导数是2(a-b)/(a+b)^2。由于两个函数的导数都跟变量x/b有关，因此我们可以考虑应用拉格朗日中值定理来解决问题。具体来说，我们可以定义一个新的函数f(x) = ln(x) - 2(b-a)/(a+b)。由于f(x)在区间[a,b]上连续且在(a,b)内可导，根据拉格朗日中值定理，存在一个c∈(a,b)，使得：f'(c) = [f(b)-f(a)]/(b-a)将f(x)的导数带入上式，得到：1/c - 2(b-a)/(a+b)^2 = ln(b) - ln(a) - 2(b-a)/(a+b)移项可得：ln(b) - ln(a) > 2(b-a)/(a+b) - 1/c + 2(b-a)/(a+b)^2从上式可以看出，如果想要证明原不等式成立，需要证明右边的式子大于0。但是由于该式子含有1/c这个因子，因此无法直接证明。综上所述，拉格朗日中值定理在某些情况下可能无法解决不等式问题。针对这种情况，我们可以考虑使用其他的方法来求解。

问：2(b-a)/(a+b)为什么是个函数，怎么求导，求导的具体过程

答：表达式 (b-a)/(a+b) 可以写成 b/(a+b) - a/(a+b)，这是两个已知可导函数的差。因此，我们可以使用求导公式中的差法则来计算其导数。具体来说，设 f(x) = b/(x+b) 和 g(x) = a/(x+a)，则原式可以表示为 f(x) - g(x)。根据求导公式中的差法则，导数即为 (f(x))' - (g(x))'。现在来分别求出 f(x) 和 g(x) 的导数：f'(x) = -b/(x+b)^2 * 1g'(x) = -a/(x+a)^2 * 1因此，原式的导数为：(b/(x+b)^2) - (a/(x+a)^2)可以进一步化简为：[ab(2x + a + b)] / [(x+a)^2*(x+b)^2]因此，(b-a)/(a+b) 是一个可导的函数，其导数为 [ab(2x + a + b)] / [(x+a)^2*(x+b)^2]。