Question

求出不定方程x^2+y²=22满足z<50的全部正整数解.

Answer 1

问：求出不定方程x^2+y²=22满足z<50的全部正整数解.

问：好的，麻烦老师了

答：亲爱的用户： 下午好！ 解：设 $x = 2n + 1$ （其中 $n \in N^*$），$y = 2m$ （其中 $m \in N^*$），则有： $(2n + 1)^2 + (2m)^2 = 224$ $224n^2 + 4n + 1 + 4m^2 = 224$ $(n^2 + n + m^2) = \frac{21}{4}$ 由此可知，$n$ 和 $m$ 都是正整数。 又因为 $z = x + y = 2n + 1 + 2m < 50$ 所以，当 $n = 1$，$m = 2$ 时，有 $x = 3$，$y = 4$，$z = 7$； 当 $n = 2$，$m = 3$ 时，有 $x = 5$，$y = 6$，$z = 11$； 当 $n = 3$，$m = 4$ 时，有 $x = 7$，$y = 8$，$z = 15$； 当 $n = 4$，$m = 5$ 时，有 $x = 9$，$y = 10$，$z = 19$； 依次类推，全部正整数解为： $(x, y, z) = (3, 4, 7)$，$(5, 6, 11)$，$(7, 8, 15)$，$(9, 10, 19)$ ... $(39, 44, 83)$，$(41, 46, 87)$，$(43, 48, 91)$，$(45, 50, 95)$，$(47, 52, 99)$，$(49, 54, 103)$。