Question

设为31的矩阵,满足 a^Ta=2 ,设A=E-kaa^T ,k0,若 A^(-1)=A ,则k=1

Answer 1

问：设为31的矩阵,满足 a^Ta=2 ,设A=E-kaa^T ,k0,若 A^(-1)=A ,则k=1

问：第14题答案

答：你好！根据问题我们可以首先计算矩阵A的逆矩阵，然后检查当且仅当k=1时，是否满足A^(-1)=A。由于A=E-kaa^T，我们可以将其重写为A=E-k(a*a^T)。因为a*a^T是一个对称矩阵，所以它可以进行特征值分解。设a*a^T的特征值为lambda，特征向量为v，则有：a*a^T*v=lambda*v左乘a，得到：a^T*a*a^T*v=lambda*a^Tv因为a^Tv是一个标量，所以有：a^T*a*a^T*v=lambda*a^Tv左乘v^T，得到：v^T*a^T*a*a^T*v=lambda*v^T*a^Tv因为a^Tv是一个标量，所以有：v^T*a^T*a*a^T*v=lambda*(a^Tv)^2因为a^T*a是一个标量，所以有：v^T*a^T*a*a^T*v=lambda*(a^Tv)^2=v^T*a^T*a*a^Tv=lambda*(a^Tv)^2因此，我们可以得到：lambda=v^T*a^T*a*a^Tv/(a^Tv)^2

答：因此，我们可以得到：lambda=v^T*a^T*a*a^Tv/(a^Tv)^2根据题意，有A^(-1)=A，即E-k(a*a^T)=(E-k(a*a^T))^(-1)=(E+k(a*a^T))。代入可得：E-k(a*a^T)=(E+k(a*a^T))将每一项都展开，得到：E-k(a*a^T)=E+k(a*a^T)-k(a*a^T)=k(a*a^T)所以，我们必须有k=0或k=1。但是，当k=0时，A=E，而这个矩阵显然不能够满足A^(-1)=A的条件，因此k只能取1。因此，k=1是唯一的解。