Question

相互独立的随机变量XY均服从参数为1的指数分布,求P(min(X,Y)≥1)

Answer 1

问：相互独立的随机变量XY均服从参数为1的指数分布,求P(min(X,Y)≥1)

答：您好亲，首先我们可以将问题转换为求 �(�≥1,�≥1)P(X≥1,Y≥1) ，这是因为 min(�,�)≥1min(X,Y)≥1 意味着 �≥1X≥1 且 �≥1Y≥1。然后可以使用指数分布的概率密度函数来计算这个概率，即：�(�≥1,�≥1)=∫1∞∫1∞��,�(�,�)d�d�P(X≥1,Y≥1)=∫ 1∞​ ∫ 1∞​ f X,Y​ (x,y)dxdy根据题意，�X 和 �Y 都服从参数为1的指数分布，因此它们的概率密度函数为：��(�)=��(�)={�−�,�≥00,otherwisef X​ (x)=f Y​ (y)={ e −x ,x≥00,otherwise​ 两个指数分布的联合概率密度函数为：��,�(�,�)=��(�)��(�)=�−��−�,�,�≥0f X,Y​ (x,y)=f X​ (x)f Y​ (y)=e −x e −y ,x,y≥0将其代入前面的积分式中，得到：�(�≥1,�≥1)=∫1∞∫1∞�−��−�d�d�P(X≥1,Y≥1)=∫ 1∞​ ∫ 1∞​ e −x e −y dxdy这个积分可以通过变量代换来化简。我们定义 �=�−1u=x−1 和 �=�−1v=y−1，则有：�(�≥1,�≥1)=∫0∞∫0∞�−(�+1)�−(�+1)d�d�P(X≥1,Y≥1)=∫ 0∞​ ∫ 0∞​ e −(u+1) e −(v+1) dudv运用指数函数的性质可得到：�(�≥1,�≥1)=∫0∞�−(�+1)d�∫0∞�−(�+1)d�P(X≥1,Y≥1)=∫ 0∞​ e −(u+1) du∫ 0∞​

答：这个输入法有问题，老师给您截个图

问：先回答前三问吧

问：有一问发一问吧