Question

将f(x)=x(0≤x≤1)分别展开成正弦级数和余弦级数，要详细步骤

Answer 1

问：将f(x)=x(0≤x≤1)分别展开成正弦级数和余弦级数，要详细步骤

答：首先，我们需要确定展开的区间长度为L=1。 正弦级数展开： 由于f(x)在[0,1]上是奇函数，因此只有正弦级数展开，即 f(x) = Σ(n=1)∞ b(n)sin(nπx/L) 其中b(n)为展开系数，根据正弦级数的公式： b(n) = (2/L) ∫(0,L) f(x)sin(nπx/L)dx 代入f(x)=x，得到： b(n) = (2/L) ∫(0,L) x sin(nπx/L)dx 接下来我们需要计算积分： ∫x sin(nπx/L)dx = -Lx cos(nπx/L)/(nπ) + L^2 sin(nπx/L)/(nπ)^2 + C，其中C为常数。 代入上式得到： b(n) = (2/L) [ -L^2 cos(nπ) /(nπ) + L^2/(nπ)^2 sin(nπ) ] = -2L/(nπ)^2 因此，正弦级数展开为： f(x) = Σ(n=1)∞ (-2/L(nπ)^2)sin(nπx/L) 即f(x) = 4Σ(n=1)∞ sin((2n-1)πx)/(2n-1)π 余弦级数展开： 由于f(x)并不是偶函数，因此不能直接进行余弦级数展开。 我们可以将其分解成奇偶部分： f(x) = 1(x>0) - 1(x<0) = g(x) - h(x) 其中，g(x)为偶函数，h(x)为奇函数： g(x) = 1/2(x+1) (0≤x≤1) h(x) = 1/2(x-1) (0≤x≤1) 因此，我们可以分别对g(x)和h(x)进行余弦级数和正弦级数展开： g(x) = Σ(n=0)∞ a(n)cos(nπx/L) h(x) = Σ(n=1)∞ b(n)sin(nπx/L) 其中，a(n)和b(n)分别为展开系数，根据余弦、正弦级数的公式

答：n) = (2/L) ∫(0,L) g(x)cos(nπx/L)dx b(n) = (2/L) ∫(0,L) h(x)sin(nπx/L)dx 代入g(x)=1/2(x+1)和h(x)=1/2(x-1)，得到： a(n) = (2/L) ∫(0,L) 1/2(x+1)cos(nπx/L)dx = (1/L) [ sin(nπ) + (2/Lnπ)cos(nπ) ] b(n) = (2/L) ∫(0,L) 1/2(x-1)sin(nπx/L)dx = -(1/L) [ cos(nπ) + (2/Lnπ)sin(nπ) ] 因此，余弦级数展开为： g(x) = 1/2 + 2Σ(n=1)∞ [(1/Lnπ)cos(nπ) - (sin(nπ)/nπ)]cos(nπx/L) 余弦级数展开为1/2，是因为a(0) = (1/L)∫(0,L) g(x)dx = 1/2。 正弦级数展开为： h(x) = 2Σ(n=1)∞ [ (cos(nπ)/(Lnπ)) + (1/(nπ))sin(nπ) ]sin(nπx/L) 因此，原函数f(x)的余弦级数展开为g(x) + h(x)，即： f(x) = 1/2 + 2Σ(n=1)∞ [(1/Lnπ)cos(nπ) - (sin(nπ)/nπ)]cos(nπx/L) + 2Σ(n=1)∞ [ (cos(nπ)/(Lnπ)) + (1/(nπ))sin(nπ) ]sin(nπx/L)