Question

求解微分方程dy/dx=ylnx

Answer 1

问：求解微分方程dy/dx=ylnx

答：根据给出的微分方程dy/dx=ylnx，我们可以使用分离变量的方法来解这个方程。首先将方程重写为dy/y=lnxdx。然后对两边同时积分，得到∫dy/y=∫lnxdx。对左边进行积分，得到ln|y|+C1，其中C1为常数。对右边进行积分，得到xlnx-x+C2，其中C2为常数。将两边的积分结果相等，得到ln|y|+C1=xlnx-x+C2。进一步化简，得到ln|y|=xlnx-x+C3，其中C3=C2-C1为常数。再进一步，可以写成指数形式，得到|y|=e^(xlnx-x+C3)，即|y|=e^(lnx^x*e^C3)。根据指数函数的特性，可以进一步化简为|y|=Cx^xe^C3，其中C为正常数。由于y是一个函数，所以取绝对值可以省略掉，最终得到y=Cx^xe^C3，其中C为任意常数。这就是原微分方程的通解哦。

答：如果需要求解特定初值问题，可以利用给定的初始条件来确定常数C的值，得到特解。在求解过程中，需要注意lnx的定义域为正实数，所以x的取值范围应在定义域内。由于指数函数的性质，可以将常数C拆分为两个独立的常数C1和C2，其中C1与x相关，C2与e^C3相关哦。

答：亲，麻烦用文字描述一下 哦

问：计算初值问题 y'=x+y， y(0)=1 的皮卡序列。

答：计算初值问题 y'=x+y， y(0)=1 的皮卡序列的方法如下：首先，我们可以得到皮卡序列的递推式为：y0 = 1 （给定的初值）y(n+1) = y(n) + ∫[0,x] (t+y(n)) dt （n=0,1,2,...）其中，∫[0,x] 表示对变量 t 从 0 到 x 进行积分。根据递推式，我们可以计算出 y1、y2、y3 等等，直到我们满足要求的精度或达到一定的迭代次数。这样，就可以得到初值问题 y'=x+y， y(0)=1 的皮卡序列哦，