Question

14.已知:点P是 △ABC 内一点, ∠PBA=∠PCB, BP与CP的中垂线交于点M,-|||

Answer 1

问：14.已知:点P是 △ABC 内一点, ∠PBA=∠PCB, BP与CP的中垂线交于点M,-|||

答：这个问题中的 “-|||” 符号可能是误打或者不必要的，我猜测您想表达的是三条线段共线的关系。根据题目描述，我们可以画出以下示意图：cssCopy code B / \ / \ / \ / \ M---------P / \ / \ / \ / \ / \ / \ A-------C-------B其中，BP 和 CP 的中垂线交于点 M。接下来，我们需要利用已知条件来推导结论。由于 BP 与 CP 的中垂线都经过点 M，因此 M 是线段 BP 和 CP 的中点，即 BM = CM。又因为 ∠PBA = ∠PCB，根据等角关系，可以得到 △PBA 和 △PCB 全等，进而得到 PB = PC。根据三角形中位线定理，我们可以得到：AM = BM = CM （由三角形 ABC 的中位线定理得到）PM = BM = CM （已知）因此，△APM 和 △CPM 两个三角形都是等腰三角形。接下来，我们可以利用这两个等腰三角形来求解三等分弦长。设 AP = x，PC = y，则有 BP = PC = y，AB = c，BC = a，AC = b。根据余弦定理，我们可以得到：cos(∠ABC) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)cos(∠ABP) = cos(∠CBP) = (y^2 + x^2 - c^2) / (2xy)因为 ∠PBA = ∠PCB，所以 ∠ABP + ∠CBP = ∠ABC，即：cos(∠ABP) + cos(∠CBP) = cos(∠ABC)代入上面的公式，可以得到：(y^2 + x^2 - c^2) / (2xy) + (y^2 + x^2 - c^2) / (2xy) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)化简后可以得到：2x^2y^2 - 2c^2xy = a^2c^2 - b^2c^2移项并合并同类项，得到：2x^2y^2 + b^2c^2 - a^2c^2 = 2c^2xy化简并移项，得到：x^2y^2