8.设二维随机变量(XY)在 D=((x,y)|0≤x≤2 , 0≤y≤1) 服从均匀分布,记U=0,X≤Y; 1X＞Y , V=0,X≤2Y; 1,x＞2Y 1.求二维随机变量（X, Y) 的联合概率密度 ，2.求X, Y的边缘概率密度 3.求X, Y的边缘分布函数
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1. 由于(X,Y)在D上服从均匀分布，故其概率密度函数为：
$$f_{XY}(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{2}, &0\leq x\leq 2,0\leq y\leq x \\\frac{1}{2}, &0\leq x\leq 2,x
2. X和Y的边缘概率密度分别为：
$$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)\mathrm{d}y=\begin{cases}x, &0\leq x\leq 1 \\2-x, &1
$$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)\mathrm{d}x=\begin{cases}2y, &0\leq y\leq 1 \\0, &\text{其他}\end{cases}$$
3. X和Y的边缘分布函数分别为：
$$F_X(x)=\int_{-\infty}^x f_X(t)\mathrm{d}t=\begin{cases}0, &x<0 \\\frac{1}{2}x^2, &0\leq x\leq 1 \\2x-x^2, &12\end{cases}$$
$$F_Y(y)=\int_{-\infty}^y f_Y(t)\mathrm{d}t=\begin{cases}0, &y1\end{cases}$$
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咨询记录 · 回答于2024-01-02
8.设二维随机变量(XY)在 D=((x,y)|0≤x≤2 , 0≤y≤1) 服从均匀分布,记U=0,X≤Y; 1X＞Y , V=0,X≤2Y; 1,x＞2Y 1.求二维随机变量（X, Y) 的联合概率密度 ，2.求X, Y的边缘概率密度 3.求X, Y的边缘分布函数
好的
由于 (X,Y) 在 D 上服从均匀分布，故其概率密度函数为：
$$f_{XY}(x,y) = \begin{cases}
\frac{1}{2}, & 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq x \\
\frac{1}{2}, & 0 \leq x \leq 2, x < y \leq 1 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}$$
X 和 Y 的边缘概率密度分别为：
$$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \, \mathrm{d}y = \begin{cases}
x, & 0 \leq x \leq 1 \\
2 - x, & 1 < x \leq 2 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}$$
$$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \, \mathrm{d}x = \begin{cases}
2y, & 0 \leq y \leq 1 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}$$
X 和 Y 的边缘分布函数分别为：
$$F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) \, \mathrm{d}t = \begin{cases}
0, & x < 0 \\
\frac{1}{2} x^2, & 0 \leq x \leq 1 \\
2x - x^2, & 1 < x \leq 2
\end{cases}$$
$$F_Y(y) = \int_{-\infty}^y f_Y(t) \, \mathrm{d}t = \begin{cases}
0, & y 0 \\
y^2, & 0 \leq y \leq 1 \\
1, & y > 1
\end{cases}$$
1. 对于D中的任意一个小区域，其概率均为D的面积1，因此二维随机变量(XY)的联合概率密度为：
f(x,y) =
{1, (x,y)∈D
{0, 其他
2. X的边缘概率密度为
f_X(x) = ∫_0^1 f(x,y)dy =
{∫_x^1 dy, 0≤x≤1
{∫_x/2^1 dy, 1
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