Question

相互独立的随机变量XY均服从参数为1的指数分布,求 P(min(x,Y)≥1) 。

Answer 1

问：相互独立的随机变量XY均服从参数为1的指数分布,求 P(min(x,Y)≥1) 。

答：由于X和Y是相互独立的指数分布随机变量，它们的概率密度函数分别为： f(x) = e^(-x), x >= 0 f(y) = e^(-y), y >= 0 因此，要求P(min(x,Y)≥1)，可以先求出P(min(x,Y) < 1)的概率，然后用1减去这个概率即可。 P(min(x,Y) < 1) = 1 - P(min(x,Y) ≥ 1) = 1 - P(x ≥ 1, Y ≥ 1) = 1 - ∫(1,∞)∫(1,∞) e^(-x-y) dx dy = 1 - ∫(1,∞) e^(-y) (∫(1,∞) e^(-x) dx) dy = 1 - ∫(1,∞) e^(-y) dy = 1/ e 因此，P(min(x,Y)≥1) = 1 - P(min(x,Y) < 1) = 1 - 1/e ≈ 0.6321。