Question

a的立方+b的立方+c的立方=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)+3abc怎么证明

Answer 1

问：a的立方+b的立方+c的立方=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)+3abc怎么证明

答：要证明等式 $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)+3abc$ 成立，我们可以进行展开和合并同类项的操作。 首先，展开等式右侧： $(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)+3abc = (a+b+c)^2 - (a+b+c)(ab+bc+ca) + 3abc$ 展开之后，得到： $= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc - a^2b - ab^2 - a^2c - ac^2 - b^2c - bc^2 - 3abc$ 接下来，展开等式左侧： $a^3 + b^3 + c^3$ 通过观察，我们发现等式右侧展开后的每一项都可以在等式左侧找到对应的项。例如： 1. $a^2 = a^2$ 2. $b^2 = b^2$ 3. $c^2 = c^2$ 4. $2ab = -a^2b - ab^2 + 2ab$ （等式右侧的 $2ab$ 是由 $- (a+b+c)(ab+bc+ca)$ 展开得到的，因此还需要加上 $2ab$） 5. $2ac = -a^2c - ac^2 + 2ac$ （同理，还需要加上 $2ac$） 6. $2bc = -b^2c - bc^2 + 2bc$ （同理，还需要加上 $2bc$） 7. $-3abc = -3abc$ 由于等式右侧展开后的每一项，在等式左侧都能找到对应的项，并且它们相等，因此我们可以得出等式 $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)+3abc$ 成立。这是一个证明通过的过程。