Question

求下列曲线在任一点处的曲率:-|||-(1) y=4x-x^2;-|||-(2) y=sinx,

Answer 1

问：求下列曲线在任一点处的曲率:-|||-(1) y=4x-x^2;-|||-(2) y=sinx,

答：亲亲,很高兴为您解答哦(1) y=4x-x^2解：y'=4-2x，y''=-2，代入曲率公式k=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}，得到k=\frac{2}{(1+(4-2x)^2)^{\frac{3}{2}}}(2) y=sinx解：y'=cosx，y''=-sinx，代入曲率公式k=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}，得到k=|sinx|

答：资料拓展：(1) y=4x-x^2曲线的一阶导数为 y' = 4 - 2x曲线的二阶导数为 y'' = -2因此曲线的曲率为 |y''| / (1+y'²)^(3/2) = 2/[(1+(4-2x)²)^(3/2)](2) y=sinx曲线的一阶导数为 y' = cosx曲线的二阶导数为 y'' = -sinx因此曲线的曲率为 |y''| / (1+y'²)^(3/2) = 1 / (1+cos²x)^(3/2)

问：求曲线y=x2-2x上曲率半径最小的点，并求出相应曲率圆的中心坐标

答：亲亲,很高兴为您解答哦曲线y=x²-2x的曲率半径为r=|1+4x²|^(3/2)/|2x-2|。为了找到曲线上曲率半径最小的点，我们需要求出曲率半径的导数并令其为0：dr/dx = (4x(2x-1))/|2x-2|^5/2 - (8x(1+4x^2))/|2x-2|^3/2 = 0化简可得：x(4x-3) = -1解得：x = -1/2或3/4其中，当x=-1/2时，曲率半径最小，此时曲率半径为r=1/2，即相应曲率圆的半径为1/2。要求相应曲率圆的中心坐标，我们需要求出曲线上该点的切线方程，然后求该切线与x轴的交点坐标即可。曲线y=x²-2x在点(-1/2, 5/4)处的斜率为y' = 2x-2 = -3，所以该点的切线方程为y = -3(x+1/2)+5/4。将该方程与x轴相交，解得交点坐标为(-5/6, 0)。因此，相应曲率圆的中心坐标为(-5/6, 1/2)。