Question

若m是x²-2x-1的根,则m²+1/m²的值

Answer 1

问：若m是x²-2x-1的根,则m²+1/m²的值

答：亲，你好！为您找寻的答案：我们可以利用根的性质来解决这道题目。已知m是x2-2x-1的根，则有：m2 - 2m - 1 = 0将上式两边同时乘以m，得：m3 - 2m2 - m = 0将上式两边同时加上1，得：m3 - 2m2 - m + 1 = 1因为m2 - 2m - 1 = 0，所以可以将上式中的m2用2m + 1代替，得：m3 - (2m + 1)m - m + 1 = 1化简上式，得：m3 - 3m - 1 = 0将上式两边同时乘以m，得：m4 - 3m2 - m = 0将上式两边同时加上1/m2，得：m4 + 1/m2 - 3m2 - m + 1/m2 = 1/m因为m2 - 2m - 1 = 0，所以可以将上式中的m2用2m + 1代替，得：m4 + 1/m2 - 3(2m + 1) - m + 1/m2 = 1/m2化简上式，得：m4 + 1/m2 - 6m - 2 = 0因此，m2 + 1/m2的值为6。

问：谢谢

答：亲~.拓展资料：本题考查了关于二次方程根的知识以及分式的化简方法。在解决二次方程时，我们可以使用求根公式，通过 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 求出其两个根。在本题中，我们需要求解 $x^2-2x-1=0$ 的两个根，得到 $1+\sqrt{2}$ 和 $1-\sqrt{2}$。接下来，我们需要求出 $m^2+\frac{1}{m^2}$，其中 $m$ 是 $x^2-2x-1$ 的根。这里有一个小技巧，我们可以分别将 $m$ 取为两个根，然后求出 $m^2+\frac{1}{m^2}$ 的值，最后比较两个值即可。这种方法可以减少计算量，提高效率。在计算 $m^2+\frac{1}{m^2}$ 的值时，我们需要注意分式的化简。我们可以先将 $m^2+\frac{1}{m^2}$ 表示为 $\left(m+\frac{1}{m}\right)^2-2$，然后将 $m$ 分别取为 $1+\sqrt{2}$ 和 $1-\sqrt{2}$，带入公式进行计算。最终得到两个值，分别为 $\frac{24+10\sqrt{2}}{7}$ 和 $\frac{24-10\sqrt{2}}{7}$。这里需要注意，当分母为负数时，我们可以通过有理化分母的方法将其化为正数，从而得到最终的结果。总之，本题考查了二次方程根的求解方法以及分式的化简方法，以及对数学知识的综合运用能力。通过这道题目的练习，我们不仅可以加深对数学知识的理解，还可以提高我们的计算能力和思维能力。